%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%                                                                                %%%%
%%%%     Gwiazdy Podwójne Zaćmieniowe         Wojciech Dimitrow                     %%%%        
%%%%                                                                                %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\documentclass[12pt]{book}%{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{natbib}
\usepackage{latexsym}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{fancyhdr}

%\selectlanguage{polish}
%\usepackage{txfonts}
%\usepackage{amsfonts}
%\usepackage{amssymb} %do >=~ itd. wyłączone bo sprawia kłopoty



\textwidth=16.0cm
\textheight=23.0cm
\oddsidemargin=0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\topmargin=0  %-0.5cm


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  STRONA TYTOLOWA   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\author{Wojciech Dimitrow}
\title{Obserwacje i modelowanie rozdzielonych układów podwójnych -
wryfikacja ich odległości i statusu ewolucyjnego} 

\begin{document}
%\maketitle


\begin{titlepage}
%\begin{flushright}
\begin{center}
{\large Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu}\\
{\large Obserwatorium Astronomiczne}\\

\vspace{3cm}

\begin{Large}
\textbf{\sc
Obserwacje i modelowanie \\rozdzielonych układów podwójnych -
weryfikacja \\ich odległości i statusu ewolucyjnego\\
%\vspace{0,5cm}
}
\end{Large}

\vspace{10mm}

\rule{\textwidth}{0,2mm}\\

%\vspace{5mm}
%{\Large Praca doktorska}

\vspace{2cm}

{\large Wojciech Dimitrow}\\

\vspace{8cm}

%{\large \textbf{Kierownik pracy: prof E. Wnuk}}\\
%\bigskip
%{\large \textbf{Opiekun pracy: prof A.S. Czerny}}\\
{\large Praca doktorska pod kierunkiem\\ prof. dr. hab. Aleksandra
Schwarzenberga-Czernego}\\

\vspace{\fill}


{\large Poznań 2006}
%\end{flushright}
\end{titlepage}


\begin{table}[b]
\begin{tabular}{cl}
&\vspace{16cm} \\
& Dziękuję mojemu promotorowi, prof. Aleksandrowi Schwarzenbergowi-Czernemu\\
& za wszechstronną pomoc przy badaniu układów zaćmieniowych. Profesorom\\
& Dimitar Kolev oraz Toma Tomov za pomoc w obserwacjach spektroskopowych i ich\\
& redukcji oraz S. Rucińskiemu i K. Panov za udostępnienie czasu na teleskopach.\\ 
& Doktorowi T. Kwiatkowskiemu za pomoc i cenne sugestie oraz W. Borzykowi za\\
& pomoc przy korekcie niniejszego tekstu. Doktorantom P. Ligęzie i A. Marciniak\\ 
& za współprace przy obserwacjach i redukcji. Wszystkim pracownikom Obserwatorium\\ 
& Astronomicznego UAM w Poznaniu za nieocenioną pomoc i wsparcie\\
& w czasie pracy nad rozprawą.\\
\end{tabular}
\end{table}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%{\large \textbf{moim rodzicom}}\\

\newpage
\tableofcontents

\newpage

\chapter{Wstęp}

Według powszechnie panującego poglądu
ponad połowa obserwowanych gwiazd to układy podwójne lub wielokrotne.
Ostatnie badania zmieniają ten obraz (Lada 2006).
Czerwone karły typu widmowego M, które były dotychczas pomijane   
stanowią aż 70\% populacji gwiazd.
Zespół RECONS (Research Consortium On Nearby Stars) obserwował 
czerwone karły w promieniu 10 pc. Obserwowano 171 gwiazd z pośród których tylko 43 okazały 
się podwójne, co stanowi zaledwie 25\% całej próbki.  

Płaszczyzna orbity niektórych układów podwójnych  jest tak zorientowana
w przestrzeni że z Ziemi obserwujemy
okresowe zaćmienia. Obserwacje gwiazd podwójnych zaćmieniowych pozwalają nam
dokładnie określić parametry fizyczne obu składników układu.
W niektórych przypadkach możliwe jest wyznaczenie ich parametrów absolutnych
z dokładnością lepszą niż jednego procenta.
Pozwala to na dokładne zbadanie statusu ewolucyjnego układu oraz na
weryfikacje modeli ewolucyjnych. 
Dokładna znajomość parametrów absolutnych pozwala nam rownież wyznaczyć
odległość do układu metodą paralaksy fotometrycznej.

Problem wyznaczania odległości w astronomii jest fundamentalny. Współczesne   
obserwacje fotometryczne oraz spektroskopowe pozwalaja nam badać gwiazdy w
gęstych polach gromad kulistych lub sąsiednich galaktyk. Dokładne modele układów
podwójnych  pozwalają nam
wyznaczyć odległość do tych obiektów.
Obecnie mamy do dyspozycji coraz wiecej instrumentów zautomatyzowanych, które
dostarczają dużo informacji. Przykładem programu wykorzystującego takie
instrumenty jest ASAS (All Sky Automated Survey, Pojmański 1997), który odkrył dużo układów
zaćmieniowych. W przygotowaniu jest misja satelity
GAIA\footnote{ Oficjalna strona internetowa misji GAIA:
\emph{http://gaia.esa.int/}}, która dostarczy
obserwacje fotometryczne dla gwiazd do 20 mag ($1\times10^9$~gwiazd) 
oraz spektroskopowe do 15 mag (Munari 2001).

Do pomiarów odległości szczególnie nadają się układy rozdzielone.
W niniejszej pracy została omówiona próba znalezienia i analizy kilku
układów rozdzielonych w oparciu o własne obserwacje spektroskopowe
metodą Wilsona-Deviney (1971). Na podstawie analizy krzywych
blasku i prędkości radialnych uzyskano parametry absolutne, 
paralaksę fotometryczną oraz status ewolucyjny.
Wyznaczono modele dla pięciu układów.
Cztery z nich nie były dotychczas badane a ich parametry absolutne
były nieznane.  



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Tematyka i cel rozprawy}

Celem niniejszej pracy jest przegląd kilku układów zaćmieniowych 
pod kątem znalezienia ich parametrów, stwierdzenia czy są rozdzielone
i jaki jest ich status ewolucyjny oraz paralaksa fotometryczna.
Pragniemy uzyskać paralaksy fotometryczne nadające się do porównania  
z trygonometrycznymi 
Hipparcosa oraz (w przysz"lo"sci) z GAIA. Praca ta byla pomyślana
jako przygotowanie szerszego programu bada"n za pomoc"a budowanego
w Poznaniu teleskopu spektroskopowego. Z tego wzgl"edu, oraz z
powodu tego, że wiekszo"s"c warsztatu do pracy musia"lem dopiero
wdroży"c w naszym Obserwatorium, ponad po"low"e rozprawy po"swi"ecam
obszernej cz"e"sci dotycz"acej metodologii. Nie zawiera ona
żadnych nowych wynik"ow naukowych, lecz stanowi pr"ob"e
uporz"adkowania zdobytej wiedzy.

\section{Dane i wsp"o"lpracownicy}
Praca niniejsza jest oparta g"l"ownie na moich własnych
obserwacjach spektroskopowych (IO Aqr oraz BD-00~3357, w tym dwa wyjazdy
kompletnie deszczowe - 2002 i 2003, oraz na obserwacjach
zebranych w DDO przez P.Lig"ez"e (ca"la V821 Cas i kilka punkt"ow
w innych) oraz przez T.Tomova i wsp"o"lpracownik"ow (DV Boo oraz
GT UMa). Redukcj"e i analiz"e wykona"lem w przewarzającej 
większości sam. Wi"ekszo"s"c
fotometrii wzi"eto z literatury (g"l"ownie ASAS i Hipparcos), ale
dodatkowe obserwacje zosta"ly wykonane przeze mnie i innych
obserwator"ow z Poznania, zw"laszcza duży wk"lad miała A.
Marciniak (dotyczy to zar"owno samych obserwacji CCD jak i ich
redukcji). W trakcie pracy dużo skorzysta"lem wsp"o"lpracuj"ac na
r"ożnych etapach z D. Kolevem,
T. Tomovem, I. Ilievem, R. Ratajczakiem, T. Kwiatkowskim, P. Lig"ez"a
i A. Marciniak.

\section{Struktura rozprawy}
Praca sk"lada si"e z 4 cz"e"sci: niniejszego wst"epu, obszernej
cz"eści przytaczaj"acej wiadomo"sci podr"ecznikowe i
metodologiczne zaczerpni"ete z literatury, z cz"e"sci
przynosz"acej g"l"owne wyniki naukowe oraz z cz"e"sci
podsumowuj"acej i zawieraj"acej za"l"aczniki. Organizacja cz"e"sci
3, przedstawiaj"acej wyniki naukowe jest nast"epuj"aca: W sensie naukowym analiza DV
Boo nie wnosi nic nowego ponad wyniki grupy szwajcarskiej
(Carquillat et al. 2004). Pos"lużyła ona do weryfikacji naszych
niezależnych obserwacji oraz metod analizy. Części dotycz"ace
{BD-00~3357} oraz IO Aqr, gwiazd kt"ore nie by"ly dot"ad badane
szczeg"o"lowo, przynosz"a, moim zdaniem najważniejsze wyniki
uzyskane w niniejszej rozprawie. Zosta"ly one opublikowane
(Dimitrov et al., 2004) oraz (Dimitrov et al., 2006). Rozdzia"l
dotycz"acy V821 Cas zawiera analize ciekawego uk"ladu
eliptycznego z wyraźn"a rotacj"a linii apsyd. Dost"epne
obserwacje nie s"a kompletne i gwiazda zas"luguje na dalsz"a
uwag"e. Rozdzia"l dotycz"acy {GT UMa} w istocie nie daje wynik"ow,
kt"ore można uzna"c za ca"lkowicie wiarygodne. Służy on jako
ilustracja komplikacji pojawiaj"acych si"e w analizie, gdy tylko
dane s"a nieco gorsze, lub fizyka uk"ladu bardziej z"lożona, lub
gdy oba te przypadki zachodz"a równocześnie.

\section{Om"owienie aktualnej literatury}

%\\ o tematyce blisko
%zwi"azanej z tematyk"a rozprawy}

W ostatnich latach coraz częściej pojawiają się prace dotyczące 
modelowania układów podwójnych zaćmieniowych, w których osiąga się 
niepewność wyznaczenia promieni i mas składników poniżej jednego 
procenta. 

Przykładem takiej pracy jest publikacja Lacy et al. 2002, w której
przedstawiono model układu WW Camelopardalis. Model jest oparty o prawie 
6000 pomiarów jasności w filtrze $V$ o odchyleniu standardowym 0.008mag, oraz
85 pomiarów prędkości radialnych $\sigma=2 km/s$.
W pracy Lacy et al. 2005 dotyczącej RW Lacertae osiągnięto niepewność 
0.7\% dla mas oraz 0.5\% dla promieni.
Kolejnym przykładem jest praca G.Torres et al. z roku 2002 dotycząca YY Geminorum
(Castor C). 

W roku 2005 ukazała się praca J. Devor dotycząca masowego i zautomatyzowanego
wyznaczania modeli układów podwójnych na podstawie krzywych blasku.
Przeanalizowano 219 tysięcy krzywych obiektów z OGLE II i wyznaczono 10862
modeli układów zaćmieniowych.

Te prace oraz inne tam cytowane dają pogląd o szczytowych osiągnięciach w
dziedzinie którą się tu zajmuję.
Niniejsza rozprawa przytacza wyniki, które można osiągnąć w oparciu o
obserwacje uzyskane w skromniejszych warunkach.  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\section{Klasyfikacja gwiazd podwójnych zaćmieniowych}

Gwiazdy podwójne dzielimy na wizualne, spektroskopowe i zaćmieniowe. 
W układach wizualnie podwójnych jesteśmy w stanie zaobserwować każdy składnik
z osobna. 
Możemy zaobserwować bezpośrednio ich ruch
orbitalny. Okresy tych układów są zazwyczaj bardzo długie, od kilku do
kilku tysięcy lat, co związane jest z dużą separacją składników, która jest 
warunkiem umożliwiającym ich rozdzielenie.  
Obserwacje tych układów pozwalają nam wyznaczyć kształt i względne rozmiary 
orbit składników oraz nachylenie płaszczyzny orbity. Z równania środka masy
mamy zależność $M_1 a_2=M_2 a_1$ gdzie $M_1$ i $M_2$ to masy 
a $a_1$ i $a_2$ to półosie 
orbit składników krążących wokół wspólnego środka mas. 
Jeżeli układ znajduje się stosunkowo blisko możemy
zaobserwować jego paralakse roczną oraz wyznaczyć jego
odległość. Błąd wyznaczonej w ten sposób odległości rośnie wraz z samą odległością obiektów. 
Znając kątowe rozmiary orbity i odległość jesteśmy w stanie
wyznaczyć również masy składników układu.
 
Ruch orbitalny powoduje okresowe zbliżanie się i oddalanie składników
względem
obserwatora. Powoduje to przesuwanie się linii widmowych pochodzących od obu
składników na skutek efektu Dopplera. Gwiazdy podwójne w których obserwujemy
ten efekt nazywamy podwójnymi spektroskopowymi. Układy te określamy skrótem SB
 (spectroscopic binary),
 w szczególności SB1 i SB2 oznaczają odpowiednio  układy w których widoczne są linie od
jednego lub dwóch składników. Ciąg obserwacji spektroskopowych pozwala nam
wyznaczyć krzywą prędkości radialnych. Jej analiza pozwala nam wyznaczyć
elementy orbity: okres orbitalny $P$, moment przejścia przez periastron $T_0$,
długość periastron $\omega$, 
spłaszczenie orbity $e$. Nie jesteśmy w
stanie wyznaczyć półosi wielkiej, jednak otrzymujemy wartość iloczynu  $a~sin(i)$. Pierwszy 
zaobserwowany układ
podwójny spektroskopowy to Mizar ($\xi$ UMa) odkryty w 1889 roku (Vogel
1901).
  
Aby zbudować kompletny model układu oprócz krzywych prędkości radialnych musimy 
również zaobserwować zaćmienia. 
To czy wystąpią w układzie zaćmienia zależy od tego czy obserwator
znajduje sie w pobliżu płaszczyzny orbitalnej układu podwójnego, oraz
od rozmiarów i separacji składników. Układy u
których obserwujemy zaćmienia nazywamy gwiazdami podwójnymi zaćmieniowymi
 EB (Eclipsing Binaries).
Ponad 90\% gwiazd zacmieniowych posiada okresy orbitalne krótsze niż 10
dni, jednak zdarzaja sie też przypadki okresów bardzo długich, na przykład
$\epsilon$ Aur o okresie 27 lat.
Gwiazdy krótkookresowe mają mniejszą separacje a co za tym idzie większe
jest w ich przypadku prawdopodobieństwo wystąpienia zaćmień.

Pierwsze wyznaczone krzywe blasku układów zaćmieniowych zostały
sklasyfikowane ze względu na ich kształt (Hall 1996). Ta fenomenologiczna
klasyfikacja dzieli układy zaćmieniowe na trzy grupy. Pierwsza z nich
otrzymała nazwę Algole od układu $\beta$ Persei czyli Algola. 
Oznacza się je
skrótem EA (Eclipsing binary of Algol type). Zmiany blasku $\beta$ Per można
zaobserwować nawet nieuzbrojonym okiem. Jasność zmienia się w granicach
$2.2^m-3.5^m$. Krzywe blasku tej grupy charakteryzują sie dwoma minimami, głębokim i
płytkim. Początki i końce zaćmień są ostro zarysowane a maksima (fazy 0.25,
0.75) są stosunkowo płaskie.

Układy typu $\beta$ Lyr wykazują ciągłe zmiany jasności i ich krzywe
posiadają dwa minima różnej głębokości.
Ciągłe zmiany blasku są spowodowane elipsoidalnym kształtem
składników (elipsoidalne zmiany blasku). Określenie ,,elipsoidalne''
jest historyczne i wywodzi się z modelu Russela-Merilla (1952). Współcześnie 
kształt składników układu opisujemy nie elipsoida trójosiową a modelem
Roche'a. Układy te są zazwyczaj stosunkowo gorące o typach widmowych z
zakresu B-A.

Jeżeli nachylenie orbity jest niewystarczające aby zachodziły zaćmienia
to dla gwiazd rozciągniętych pływami obserwujemy ciągłe zmiany blasku 
o małej amplitudzie <0.1mag. Nazywamy te gwiazdy zmienne eliptyczne (ELL).

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{fenomenologiczna.eps} 
\caption{Klasyfikacja fenomenologiczna}
\end{center}
\end{figure}


Gwiazdy typu W UMa (EW) mają chłodniejsze składniki i posiadają krzywe blasku 
o ciągłych zmianach 
blasku, porównywalnych głębokościach minimów i krótkich okresach od 0.25 do 
1 doby. Mocno zakrzywione maksima świadczą o tym że składniki są mocno
zniekształcone pływami.
Typy widmowe są najczęściej z zakresu F i G (Kubiak, 1994).   

  
Fenomenologiczna klasyfikacja nie odzwierciedla dokładnie właściwości
fizycznych ukła-dów podwójnych. Wraz z zastosowaniem modelu Roche'a do
określenia rozmiarów i kształtów składników układu powstała nowa
klasyfikacja morfologiczna. W modelu Roche'a gwiazdy wypełniają pewne
powierzchnie ekwipotencjalne. Potencjał ten łączy wpływ grawitacji i sił
odśrodkowych powstających w układzie rotującym. Krytyczna powierzchnia
Roche'a okresla maksymalny rozmiar pojedyńczej gwiazdy. Układy w których
składniki nie wypełniają krytycznej powierzchni Roche'a nazywamy układami 
rozdzielonymi (ED, detached eclipsing binaries; używa się równie"r skrótów DEB oraz DB).
 Jeżeli w trakcie ewolucji
któryś ze składników wypełni swoja powierzchnie krytyczną 
to materia wypływa przez punkt $L_1$ i opada na drugi składnik. Krytyczne
powierzchnie otaczające oba składniki przecinają sie w punkcie $L_1$.
Składnik,
który wypełnia swoją powierzchnie Roche'a ma kształt kropli. Taki układ
nazywamy układem półrozdzielonym (SD lub ESD, semi detached).   
Układy w których oba skladniki dokładnie wypełniają swoje krytyczne powierzchnie
i stykają się w punkcie $L_1$ nazywamy układami kontaktowymi
a układy, które wypełniają powierzchnie o potencjale $\Omega_{L_1}>\Omega>
\Omega_{L_2}$ nazywamy ponadkontaktowymi (over contact).
 Kiedy gwiazdy w trakcie ewolucji  zwiekszając swoje rozmiary 
wypełniają swoje powierzchnie krytyczne, materia
zaczyna ,,przelewać'' się przez nie i wypełniać kolejne powierzchnie
ekwipotencjalne o niższych wartościach potencjałów. Maksymalny rozmiar
układu ponad kontaktowego określa powierzchnia ekwipotencjalna przecinająca
punkt Lagrange'a $L_2$, przez który układ może tracić materię.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{detached5.eps} 
\caption{Klasyfikacja mofologiczna: układ rozdzielony, półrozdzielony i
ponad kontaktowy o maksymalnych możliwych rozmiarach.}
\end{center}
\end{figure}

Określenie ,,układ kontaktowy'' jest wykorzystywane dwojako. Dla układów
synchronicznych, w których oba składniki dokładnie wypełniają swoje krytyczne
powierzchnie Roche'a słowo kontakt oznacza, że gwiazdy stykają się w
punkcie $L_1$. 
Kiedy mamy jednak do czynienia z rotacją asynchroniczną możliwe są sytuacje, w
których oba składniki wypełniają swoje krytyczne powierzchnie ekwipotencjalne ale
nie stykają się (ich powierzchnie nie sięgają punktu Lagrange'a $L_1$).
Przykładem takiego układu to RZSct (Rys. 1.3). Siły odśrodkowe przy rotacji
asynchronicznej powodują zmniejszenie się objętości stref Roche'a, 
które określają maksymalne rozmiary pojedyńczych składników, strefy te nie
stykają się w $L_1$ tak jak w układach o rotacji synchronicznej. 
Określenie ,,układ kontaktowy'' stosowane jest wtedy w sensie kontaktu każdego
ze składników ze swoją krytyczną powierzchnią Roche'a.
W tej sytuacji używa się  określenia podwójny kontakt (double contact).   

Układ ponadkontaktowy może tracic materię przez punkt Lagrange'a $L_2$.
W późnych stadiach ewolucji w takim układzie może wytworzyć 
się otoczka. Nazywamy je układami we wspólnej otoczce (CE, common envelope).



\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{RZSct.eps}
\caption{Uklad o składnikach rotujących asynchronicznie RZSct. Obie gwiazdy
wypełniają swoje krytyczne powierzchnie Roche'a}
\end{center}
\end{figure}


\newpage

\section{Efekty obserwowane}

Informacje o układzie zaćmieniowym 
możemy uzyskać z następujących źródeł:

\begin{itemize}
\item badań zmian jasności 
\item dopplerowskie przesunięcia linii widmowych
\item metodami obrazowania iterferometrycznego
\item analiza profili linii widmowych
\item zakrycia przez Księżyc
\item polarymetria
\item obserwacje wpływu trzeciego ciała na momenty zaćmień w układach potrójnych
\item obserwacje momentów pulsów w układach rentgenowskich
\end{itemize} 

Dwie podstawowe metody, które wzajemnie uzupełniają się i pozwalają nam
uzyskać kompletny model są oparte na obserwacjach fotometrycznych i
spektroskopowych.
W obserwacjach fotometrycznych widzimy zmiany jasności
składników w trakcie ruchu orbitalnego oraz efekty zaćmień. Zmiany jasności 
poszczególnych składników są spowodowane niesferycznym kształtem gwiazd oraz
niejednorodnym rozkładem jasności na ich powierzchni.
Obserwacje spektroskopowe pozwalają nam zaobserwować efekt Dopplera dla 
linii widmowych obu składników oraz zmierzyć ich prędkości radialne.
Prędkości radialne składników zmieniają się na skutek ruchu orbitalnego
układu. 
Otrzymane ciągi obserwacji nazywamy krzywymi blasku i prędkości radialnych. 
Uzyskanie modelu układu na podstawie tych krzywych zostało omówione w
następnym rozdziale (2).

Kolejny sposób na uzyskanie informacji o składnikach układu to obserwacje
profili linii widmowych. Na ich podstawie możemy wnioskować o warunkach 
panujących w obszarze w którym powstają.
W niektorych fazach ruchu orbitalnego na skutek efektu Dopplera jesteśmy w
stanie zaobserwować osobno linie widmowe obu składników. W zależności od
jakości obserwacji 
i separacji linii czasami jesteśmy w stanie dokładnie je zidentyfikować i pomierzyć. 
Na podstawie pomiaru głębokości niektórych charakterystycznych linii możemy 
wyznaczyć typy widmowe składników.
Dla gwiazd szybko rotujących wokół własnej osi możemy zaobserwować poszerzenie 
linii na skutek rotacji.    

Nie jesteśmy w stanie zaobserwować pojedyńczych składników gwiazdy podwójnej
zaćmieniowej  metodami
astrometrycznymi ze względu na ich małą separacje. Czasami jednak w układach 
potrójnych rozdzielenie trzeciego składnika od pary zacmieniowej jest
możliwe. Takie obserwacje mogą dostarczyć dodatkowych informacji o układzie.
W układach potrójnych gdy wpływ trzeciego składnika jest znaczący można 
też zaobserwować okresowe przesunięcia momentów zaćmień na skutek obiegu
pary zaćmieniowej i trzeciego składnika wokół wspólnego środka mas. Wtedy
para zaćmieniowa okresowo oddala się i zbliża do obserwatora.

Przy pomocy analizatora polaryzacyjnego możemy zbadać polaryzację swiatła od
gwiazd. Polaryzacje promieniowania od ukladów podwójnych przewidział 
Chandrasekhar (1946).
Podstawowym źródłem polaryzacji jest rozpraszanie światła na powierzchni
sąsiada lub na elektronach  w atmosferach wysokotemperaturowych.

Metody interferometryczne, które potrafią zrekonstruować obraz układu 
w niektórych przypadkach pozwalają nam zmierzyć odległość kątową składników pary
zaćmieniowej. Wynik ten pozwala, dla obiektów o znanej odległości, wyznaczyć 
separacje składników w jednostkach absolutnych.
%Przykładem pracy w której zastosowano metodę interferometryczną do badań
%układu zaćmieniowego to publikacja Goecking et al. 1994 na temat ER Ori.

W trakcie ruchu orbitalnego Księżyc zakrywa gwiazdy z pasa wzdłuż ekliptyki
o szerokości $16^{\circ}$. Obserwacje tych zaćmień szybkimi detektorami 
mogą pozwolić na zarejestrowanie podwójności danej gwiazdy - osłabienie
następuje w dwustopniowo. Można również wnioskować o separacji
składników.

Zdarza się że w układach podwójnych jeden ze składników jest pulsarem. W trakcie
ruchu orbitalnego możemy zaobserwować zmiany częstotliwości pulsów pulsara
na skutek zbliżania się i oddalania od obserwatora. Efekt ten jest
analogiczny do efektu Dopplera i pozwala nam wyznaczyć krzywą prędkości
radialnych dla pulsara.


%----------------------------------------- WD ----------------------------

\chapter{Metody}
\section{Model Wilsona-Devinney}
\subsection{Historia modelowania układów zaćmieniowych}
 
Pierwsze modele układów podwójnych zostały stworzone przez Henryego Norrisa
Russella. Jego metoda polegała na usuwaniu (rektyfikacji) wpływu eliptyczności 
składników oraz wpływu efektu odbicia\footnote{ Część swiatła
wypromieniowanego przez jeden ze składników zostaje ,,odbite'' przez składnik 
drugi i dociera do obserwatora.} na kształt krzywej blasku. W ten sposób model elipsoid 
trójosiowych zostawał zredukowany do sferycznych składnikow dla których można bylo łatwo
znaleźć rozwiązanie (Russell 1948; Russell i Merrill 1952).
Kolejny krok w modelowaniu układów zaćmieniowych wykonał Kopal (1959).
Badał on wpływ spłaszczenia gwiazd spowodowanego rotacją oraz pływami na jasność
układu. Uwzględniał pociemnienie brzegowe, pojaśnienie grawitacyjne 
oraz efekt odbicia.
Jednak modele rektyfikowane dobrze opisywały tylko układy w których efekty  
bliskości są stosunkowo niewielkie (słabo zniekształcone składniki).
Dla układów półrozdzielonych lub kontaktowych otrzymywano często błędne
wyniki.
Pierwsze bezpośrednie wyznaczenie krzywej blasku wykonał Lucy (1968).
Użył on programu przeznaczonego tylko dla układów kontaktowych.
Powierzchnia gwiazdy była opisana pojedyńczym potencjałem.
Na początku lat 70-tych na skutek rozwoju techniki komputerowej powstały
metody bezpośredniego wyznaczania krzywych blasku oraz prędkości radialnych.
Metody te możemy podzielić na trzy grupy w zależności od sposobu wyznaczania
kształtu powierzchni składników (Kalrath, Milone 1999).

\begin{itemize}
\item geometria sferyczna 
\item[--]EBOP (Eclipsing Binary Orbit Program, 1972)  
\item geometria eliptyczna 
\item[--]EBOP, WINK (Wood 1971)
\item geometria oparta na modelu Roche'a
\item[--] Lucy 1968
\item[--] Hill, Hutchings 1970
\item[--] Wilson, Devinney 1971
\item[--] Mochnacki, Doughtly 1972
\item[--] Hill, Ruciński 1993
\end{itemize} 

W niniejszej pracy korzystano głównie z wersji programu
WD\footnote{ Skrótem WD będziemy okreslać metodę/program Wilsona-Devinney} 
adaptowanej przez T. Plewe (Plewa 1988, 1992).
Program ten jest rozbudowany o
pakiet kilku metod minimalizujących. Oryginalny program WD korzysta tylko z metody
korekcji różnicowych (differential corrections, DC). 

W ostatnich latach powstały programy, bazujących na metodzie
WD, o rozbudowanym interfejsie graficznym, 
pozwalającym na przyspieszenie procesu modelowania. Umożliwiają one natychmiastowe porównanie krzywych syntetycznych i
obserwowanych, otrzymujemy również wartości absolutne oraz trójwymiarowy 
obraz układu. 

Przykłady takich programów to:  

\begin{itemize}
\item PHOEBE
\item[--] \texttt{ http://www.fiz.uni-lj.si/phoebe/}
\item BINARY MAKER 3.0
\item[--] \texttt{ http://www.binarymaker.com/}
\end{itemize}

\subsection{Idea procesu modelowania}

Aby wyznaczyć parametry układu podwójnego zaćmieniowego z obserwacji
potrzebujemy modelu który opisuje wpływ tych parametrów na kształt krzywych
blasku i prędkosci radialnych. Posiadając taki model jesteśmy w stanie
zmieniając wartości parametrów układu wirtualnego uzyskać zgodność krzywych,
tych wirtualnych i zaobserwowanych. 
Aby uzyskać zbior parametrów będących w zgodzie z obserwacjami korzystamy z
procedur minimalizujących które szukają najmniejszych odchyleń pomiędzy
krzywymi syntetycznymi oraz obserwowanymi. Minimalizowana jest funkcja
${\chi}^2=\sum(Obs-Cal)^2$.
Często parametry układu są mocno skorelowane. Innymi słowy czasami jesteśmy 
w stanie uzyskać wiekszą liczbę zestawów parametrów które dają dobrą zgodność z
obserwacjami. Funkcja ${\chi}^2$ może posiadać kilka minimów lokalnych i jedno
globalne którego poszukujemy.  
Model układu musi uporać się z trzema problemami:

\begin{itemize}
\item wyznaczeniem kształtu i rozmiaru składników
\item[--] model Roche'a i pochodne
\item określeniem rozkładu jasności na powierzchni gwiazd
\item określeniem jak kształt składników, rozkład jasności i nachylenie orbity przekładają się na krztałt
krzywych blasku i prędkości radialnych  
\end{itemize}

W kolejnych podrozdziałach opisano jak metoda WD radzi sobie z tymi zadaniami.


\subsection{Określenie kształtu i rozmiarów \\ składników układu zaćmieniowego}

\subsubsection{Model podstawowy}
W metodzie WD korzysta się z modelu Roche'a. Model ten zostal rozbudowany
aby uwzględnić dodatkowo efekty rotacji asynchronicznej składników,
eliptyczne orbity, ciśnienie promieniowania.
Pierwotnie w metodzie WD wprowadzono model opisujący układ o kołowych
orbitach i rotacji synchronicznej. Model Roche'a korzysta z pewnego 
uproszczenia (Kalrath, Milone 1999):   
 pole grawitacyjne w układzie jest wytwarzane przez dwie punktowe masy 
opisujące pole obu składników, czyli przyjmujemy że masywna część otoczki
 jest sferycznie symetryczna.


Zastosowano rotujący układ odniesienia, początek którego jest umiejscowiony 
w środku składnika o większej masie a oś X jest skierowana do
składnika drugiego. Układ ten jest nieinercjalny, występują w nim siły bezwładności.
Prędkość kątowa rotacji takiego układu wynika z trzeciego prawa Keplera. 
\begin{equation}
\omega=(2 \pi) /P = \sqrt{\frac{G(M_1+M_2)}{d^3}}
\end{equation}

Siły które decydują o kształcie składnikow to siły grawitacyjne pochodzące
od obu skladników oraz siły odśrodkowe związane z środkiem mas układu wokół
którego on rotuje z prędkością kątową $\omega$. Powstałe pole jest zachowawcze a jego potencjał
określony jest wzorem (Kopal, 1959):

\begin{equation}
-\Psi(x,y,z)=G\frac{M_1}{R_1}+G\frac{M_2}{R_2}+\frac{\omega^2}{2}{r_{o\omega}}^2
\end{equation}
  
W pobliżu składników (1,2) ich pole grawitacyjne ma  decydujący wpływ na
potencjał. W większej odległości od składników decydującą role przejmuje 
siła odśrodkowa. Jeżeli w pobliżu układu znajduje sie cząstka próbna to jej
ruch jest określony przez te trzy siły (Rys. 2.1).   



\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{rys.eps}
\caption{Układ odniesienia}
\end{center}
\end{figure}




Gwiazdy ograniczone są powierzchniami o pewnych potencjałach które nazywany
potencjałami powierzchniowymi. Oba składniki otoczone są dwoma owalnymi
strefami które stykają się w punkcie Lagrange'a $L_1$. Nazywamy je strefami
Roche'a (Roche lobes) a ich powierzchnie ograniczającą - krytyczną powierzchnią 
Roche'a. Określa ona maksymalny rozmiar pojedyńczych składników.
Wewnątrz tych stref decydującą role odgrywa grawitacja danego składnika.
Trzecia strefa otacza pierwsze dwie i powierzchnia ograniczająca ją
przechodzi przez punkt Lagrange'a
 $L_2$. Określa ona maksymalny możliwy rozmiar układu ponadkontaktowego
(over contact).
Strefa czwarta to cała przestrzeń pozostała. Wewnątrz niej siły odśrodkowe są
znaczne i materia gwiazdy która mogłaby się do niej przedostać przez $L_2$ 
stopniowo oddala się od układu.

W metodzie WD używa się zmodyfikowany lub znormalizowany potencjał Roche'a $\Omega$. 

\begin{equation}
\Omega=-\frac{\Psi d}{G M_1}-\frac{1}{2}\frac{q^2}{q+1}
\end{equation}


Jeżeli potencjał zapiszemy we współrzędnych sferycznych i przyjmiemy odległość między składnikami
równą jedności, to potencjał $\Omega$ przyjmuje postać.   


\begin{equation}
\Omega(r,q)=\frac{1}{r}+q\biggl[\frac{1}{\sqrt{1-2\lambda r+r^2}}-\lambda
r\biggr]+\frac{1}{2}(q+1)r^2(1-\nu^2)
\end{equation}

gdzie:

{\setlength\arraycolsep{2pt}
\begin{eqnarray}
\lambda=cos(\phi) sin(\theta) 
\nonumber\\
\nu=cos(\theta)
\end{eqnarray}
}


Równanie to używamy do znalezienia rozmiarów i kształtu składników układu o
rotacji synchronicznej i orbitach kołowych. Kąty $\phi$ i $\theta$ definiują
kierunek w naszym układzie sferycznym. Oba składniki określone są czterema
promieniami skierowanymi odpowiednio do $L_1$, bieguna boku i tyłu gwiazdy (Tab.
2.1).
 
\begin{table}
\caption{Kąty określające cztery promienie składnika}

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\hline
\hline
 &  $\phi$ & $\theta$  \\
\hline

$R_{\mathrm{point}}$  &   $ 0  $    &   $ 90 $    \\
$R_{\mathrm{side}}$   &   $ 90 $    &   $ 90 $    \\
$R_{\mathrm{back}}$   &   $ 90 $    &   $ 180$    \\
$R_{\mathrm{pole}}$   &   $ 0  $    &   $ 0  $    \\

\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\vspace{1cm}
Na podstawie równania 2.4 możemy wyznaczyć rozmiary pierwszego składnika. 
Aby wyznaczyć promienie drugiego musimy ,,zamienić'' miejscami oba składniki 
tak aby składnik drugi znalazł się w środku układu odniesienia. W praktyce
wystarczy wyznaczyć ${\Omega_2}' $ oraz $q'$ (równanie 2.6) i wstawić do równania
2.4.


{\setlength\arraycolsep{2pt}
\begin{eqnarray}
{\Omega_2}'=\Omega_2 \cdot q^{-1}+\frac{1}{2}(1-q^{-1})
\nonumber\\
q'=\frac{1}{q}
\end{eqnarray}}

\subsubsection{Rotacja asynchroniczna}

W przypadku rotacji synchronicznej materia gwiazdy jest w spoczynku względem 
ograniczającej ją powierzchni ekwipotencjalnej. Jeżeli mamy jednak
rotację asynchroniczną, na przykład kiedy okres jednego ze składników
jest krótszy niż orbitalny powstają dodatkowo siły odśrodkowe związane z 
osią rotacji samego składnika. Gwiazda rotuje względem swojej ograniczjącej
powierzchni ekwipotencjalnej. Jeżeli gwiazda jest rozciągnięta pływami punkt
na jej powierzchni będzie wykonywał ruchy radialne w góre i w dół. To powoduje
że dla gwiazd mocno zniekształconych następuje szybka synchronizacja rotacji 
składnika z ruchem orbitalnym (Zahn 1975, 1977).
Dodatkowe siły odśrodkowe powodują spłaszczenie składnika przy biegunach.   
Rotację asynchroniczną opisujemy współczynnikami $F_{12}$, wartość 1 oznacza
rotację synchroniczną.  

\begin{equation}
\Omega(r,q)=\frac{1}{r}+q\biggl[\frac{1}{\sqrt{1-2\lambda r+r^2}}-\lambda
r\biggr]+\frac{1}{2}F^2(q+1)r^2(1-\nu^2)
\end{equation}



\subsubsection{Orbity eliptyczne}
W przypadku orbit kołowych kształt powierzchni ekwipotencjalnych jest 
niezmienny. Często jednak orbity, zwłaszcza
dla składników o większej separacji, są eliptyczne. Gwiazdy o małej separacji
mają zazwyczaj orbity kołowe ze względu na pływy które powodują dyssypację
energii niesynchronicznej rotacji w skali czasu porownywalnej z termiczną
(Zahn 1975, 1977).   
Odległość $d$ między składnikami dla orbit eliptycznych jest funkcją fazy ruchu
orbitalnego i okresowo się zmienia. Powoduje to również okresowe zmiany
kształtu i rozmiarów powierzchni ekwipotencjalnych, krytycznej powierzchni
Roche'a i samych gwiazd. Eliptyczność orbity opisujemy spłaszczeniem $e$.


\begin{equation}
\Omega(r,q,d)=\frac{1}{r}+q\biggl[\frac{1}{\sqrt{d^2-2\lambda
dr+r^2}}-\frac{\lambda r}{d^2}\biggr]+\frac{1}{2}F^2(q+1)r^2(1-\nu^2)
\end{equation}


\subsection{Rozkład jasności na powierzchni gwiazdy}

Czynniki, które musimy uwzględnić aby opisać rozkład jasności na powierzchni gwiazdy oraz 
wpływające na promieniowanie w różnych zakresach częstotliwości: 

\begin{itemize}
\item model rozkładu widmowego promieniowania 
\item pociemnienie brzegowe
\item pojaśnienie grawitacyjne
\item efekt odbicia (refleksu)
\item plamy na powierzchni składników 
\item rozciągła atmosfera \\ (zaćmienia atmosferyczne)
\end{itemize} 

Ostatnie dwa punkty są opcjonalne i dotyczą gwiazd o rozciągłych atmosferach
lub plamach na powierzchni.
Aby określić jak gwiazda promieniuje w różnych zakresach częstotliwości
musimy przyjąć pewien model. W pierwszym przybliżeniu może to być ciało
doskonale czarne promieniujące jak ciało w równowadze termodynamicznej.
Znacznie dokładniejszy jest model uwzględniający fizyke atmosfer i lepiej 
odzwierciadlający widma gwiazd rzeczywistych.  


%\begin{itemize}
%\item[--] atmosfera promieniująca tak samo w różnych zakresach
%częstotliwości  
%\item[--] ciało doskonale czarne \\- promieniuje jak ciało w równowadze
%termodynamicznej
%\item[--] modele atmosfer \\- uwzględniają fizykę atmosfer i najlepiej
%odzwierciedlają widma gwiazd rzeczywistych 
%\end{itemize} 


Dokładny model atmosfery jest nam potrzebny wtedy, kiedy mamy obserwacje  w 
różnych filtrach zwłaszcza wąskopasmowych, 
czyli kiedy mamy porównanie ilości światła w różnych
przedziałach częstotliwości. W niektórych przypadkach głębokie linie widmowe
lub całe ich pasma powodują że widma rzeczywiste różnią się znacznie od
promieniowania ciała doskonale czarnego (Rys. 2.2).


\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{A5V.eps}
\caption{Widmo syntetyczne gwiazdy A5V na podstawie modeli Kurucza
(1979). Widać
wyraźną różnicę z rozkładem promieniowania dla ciała doskonale czarnego.}
\end{center}
\end{figure}

Współczesne modele atmosfer uwzględniają coraz więcej czynników:

\begin{itemize}
\item[--] prędkość rotacji
\item[--] natężenie pola grawitacyjnego 
\item[--] metaliczność
\item[--] zawartość $\alpha$-elementów [$\alpha$/Fe]
\item[--] mikroturbulencja
\end{itemize}


Aby wyznaczyć jaki jest rozkład promieniowania musimy znać temperaturę 
gwiazdy.
Dla gwiazdy sferycznej temperatura na całej powierzchni jest taka sama.
Gwiazda odkształcona siłami odśrodkowymi lub siłami pływowymi od sąsiada
posiada wyższą temperaturę w obszarach o wyższym lokalnym przyspieszeniu
grawitacyjnym $g \sim T$. Efekt ten nazywamy pojaśnieniem grawitacyjnym.

 
\begin{equation}
T_{local}=T_{pole}\Bigg(\frac{g_{local}}{g_{pole}}\Bigg)^{g/4}
\end{equation}

W wykładniku mamy stałą $g$, która zgodnie z prawem von Zeipela
dla gwiazd o promienistych atmosferach ma wartość 1. Dla atmosfer   
konwektywnych wartość $g$ wynosi 0.32 zgodnie z prawem Lucyego.
Najwyższą temperaturę gwiazda ma na biegunie.
Dla gwiazdy sferycznej mamy $T_{local}=T_{pole}=T_{eff}$.


%Strumień opuszczający gwiazde z $1m^2$ na równiku i na biegunie jest równy.
%Jednak dla gwiazd zniekształconych temperatura powierzchni zależy od tego 
%jaka jest odległość danego fragmentu powierzchni od środka gwiazdy.
%Ilość energii emitowanej przez część centralną gwiazdy jest jednakowa we
%wszystkich kierunkach. Gęstość strumienia maleje wraz z odległością od
%środka gwiazdy.   
%Do fragmentów powierzchni które znajdują się bliżej środka gwiazdy dociera 
%strumień F o większej gęstości, mają one wyższą temperaturę. Efekt ten nazywamy
%pojaśnieniem grawitacyjnym.
%Równanie 9 określa temperature lokalną w stosunku do tej na biegunie
%gwiazdy.
%
%
%\begin{equation}
%T_{local}=T_{pole}\Bigg(\frac{F_{local}}{F_{pole}}\Bigg)^{0.25}
%\end{equation}
%----dalej ok  

Znając rozkład temperatur na powierzchni gwiazdy możemy określić
monochromatyczną jasność powierzchniową uwzględniając pociemnienie brzegowe.  
Obserwator widzi głębsze warstwy w środku tarczy niż na jej brzegach. 
Warstwy głębsze mają wyższą temperaturę co oznacza, że środek tarczy gwiazdy
jest jaśniejszy niż brzegi. Nazywamy to efektem pociemnienia brzegowego.
Proste równanie opisujące ten efekt to liniowe prawo monochromatycznego
pociemnienia brzegowego (Równanie 2.10).

\begin{equation}
I=(1-x+x~cos~\gamma)I_0
\end{equation}
 
$I_0$ to natężenie promieniowania przy środku tarczy a kąt $\gamma$
to kąt pomiędzy kierunkami do obserwatora i do punktu na powierzchni ze środka gwiazdy.
Wpółczynnik $x$ nazywamy liniowym współczynnikiem pociemnienia
brzegowego. Wartości jego zależą od długości fali, temperatury i
przyspieszenia grawitacyjnego na powierzchni gwiazdy.
Współczynnik ten wyznaczamy z teorii atmosfer (rozdział 2.1.8).
Liniowe prawo pociemnienia brzegowego korzysta z jednego współczynnika,
dla uzyskania wiekszej dokładności stosuje się nieliniowe prawa o dwóch
współczynnikach. 



\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{sun.eps}
\caption{Tarcza Słońca na której widać pociemnienie brzegowe i rozległe
plamy (Zdjęcie NASA).}
\end{center}
\end{figure}




Pary zaćmieniowe zazwyczaj są stosunkowo ciasnymi układami. Składniki
oświetlają się nawzajem. Powoduje to pewne wzajemne podgrzewanie 
składników. Podgrzewana jest tylko półsfera oświetlona przez drugi składnik.
Nadmiar ciepła jest wypromieniowywany i daje wkład do krzywej blasku, który
można zaobserwować. Zjawisko to nazywamy efektem odbicia (refleksu). Nie jest
ono wywołane odbiciem promieniowania lecz jest skutkiem
podgrzania. Tylko w przypadku gwiazd bardzo gorących nazwa ta jest bardziej trafna,  
dla nich możliwe jest rozpraszanie na elektronach w zewnętrznych częściach atmosfery.
Efekt odbicia jest modelowany przy pomocy parametru albedo, który określa
jaka część energii promieniowania padającego zostaje zpowrotem
wypromieniowana.
Kolejnym efektem który może się pojawić to przepływ ciepła z obszarów
podgrzanych do chłodniejszych.
W pierwotnej wersji metody WD zastosowano uproszczenie, gwiazda oświetlająca
była przybliżona punktem. W wersji z roku 1972 zastosowano już do tego celu
elipsę.  
W nowoczesnych programach uwzględnia się również odbicia wielokrotne.


Niektóre pary zaćmieniowe posiadają zniekształcone krzywe blasku, na przykład 
widoczna jest różnica w poziomie maksimów. Może to być spowodowane dużymi plamami na
powierzchni. Jeżeli zniekształcenie krzywej pojawia sie zawsze w tym samym
miejscu krzywej oznacza to iż mamy doczynienie z ruchem synchronicznym
składnika z plamą. W przeciwnym przypadku zniekształcenie będzie
,,wędrować'' czyli pojawiać się w różnych fazach ruchu orbitalnego.
Plamę opisujemy jej współrzędnymi (szerokość i długość),
rozmiarami (promień) i jej temperaturą w stosunku do otoczenia.     
Plamy mogą mieć niższą lub wyższą temperaturę od powierzchni otaczającej.
Określenie tego na którym składniku mamy umiejscowić plamę wywołującą dane
zniekształcenie może sprawić kłopot. Zwykle przyjmujemy że jest to składnik 
o niższej temperaturze i atmosferze konwektywnej.

 

\subsection{Krzywe blasku i prędkości radialnych}

Znając równania opisujące kształt, rozmiary, rozkład jasności na powierzchni 
składników i nachylenie orbity jesteśmy w stanie odtworzyć krzywą blasku układu.
W rotującym układzie widzimy składniki z różnych kierunków. Powoduje to
zmianę strumienia docierającego do nas ze składników na skutek zmian
przekroju obserwowanego gwiazdy i niejednorodnego rozkładu jasności na
powierzchni. 
Dodatkowo na skutek zaćmień następuje okresowe osłabienie strumieni, w fazie
0 dla składnika pierwszego i w fazie 0.5 dla drugiego. 
Metoda WD pozwala również na modelowanie układu potrójnego w którym trzeci
składnik nie uczestniczy w zaćmieniach i zazwyczaj znajduje się w większej
odległości od pary zaćmieniowej. Przyjmuje się że ,,trzecie światło'' $l_3$ ~
jest stałe. Całkowity strumień obserwowany to $l(\phi)=l_1(\phi)+l_2(\phi)+l_3$ 
(Rys 2.4), czyli jest sumą swiatła pochodzącego od dwóch lub trzech składników,
uwzględniającą osłabienia strumienia na skutek zaćmień.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{l1l2.eps}
\caption{Strumień obserwowany dla składników 1 i 2 oraz sumaryczny dla
całego układu 1+2.}
\end{center}
\end{figure}


Sumowanie światła docierającego do obserwatora z powierzchni składników
 dokonywane jest numerycznie, powierzchnia gwiazdy dzielona jest na małe
elementy i dla każdego z nich jest wyznaczana jasność i przypisywany status
określający czy ten element jest zaćmiony.
Parametry $n_1$ i $n_2$ opisują liczbę warstw ,,siatki'' elementów powierzchni
dla obu składników.

Krzywa blasku którą otrzymujemy z obserwacji jest wyskalowana w magnitudach. Programy
generują zazwyczaj syntetyczne krzywe w jednostkach strumienia unormowanego
do jedynki. Aby przeliczyć krzywą blasku do strumienia korzystamy ze wzoru:

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{n1020.eps}
\caption{Trójwymiarowy obraz siatki dla n=20 i n=10}
\end{center}
\end{figure}

\begin{equation}
I_i=10^{(l_i-l_0)}
\end{equation}

gdzie $l_0$ to maksymalna jasność układu bez uwzględnienia efektu odbicia.
W większości prac faza 0 jest przyjmowana jako moment zaćmienia głównego
(głębszego), dla kołowej orbity faza 0.5 przypada na zaćmienie wtórne. 

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Aby wygenerować krzywą prędkości radialnych na podstawie znanych prędkości
orbitalnych i nachylenia orbity możemy zastosować prosty model w którym
gwiazdę zastąpimy punktowym źródłem światła (point source model).

Dla kołowych orbit o nachyleniu $90^{\circ}$ obserwowana prędkość radialna
$V_{obs}=V_{orb}sin(\phi)$ gdzie $\phi$ to faza ruchu orbitalnego.
Jeżeli mamy jednak mniejsze nachylenie, to musimy uwzględnić jeszcze jeden
rzut wektora prędkości
$V_{obs}=V_{orb}sin(\phi)sin(i)$.

Wykreślając tą funkcje dla obu składników otrzymujemy dwie sinusoidy
przesunięte w fazie o $\pi$. 
W fazach zaćmień 0 i 0.5 mamy minimalne prędkości radialne a w fazach
0.25 i 0.75 maksymalne.
Fazy określamy zgodnie z założeniem, że faza zero przypada na zaćmienie
główne\footnote{ W niektórych publikacja stosuje się też inne definicje
fazy zero}. 
Dla gwiazdy ciągu głównego wiemy że temperatura rośnie wraz z wzrostem masy. 
Dla układów w których  składniki leżą na ciągu głównym oznacza to
że składnik pierwszy o wyższej temperaturze ma większą masę.
W takiej sytuacji składnik pierwszy ma krzywą RV o mniejszej amplitudzie
$K_1$.
Składnik lżejszy (2) ma amplitudę większą. Stosunek mas wynosi
$q=K_1/K_2<1$.

W trakcie ewolucji składnik masywniejszy, który ewoluuje szybciej, może
zmniejszyć 
swoją temperaturę poniżej temperatury składnika drugiego. 
Sytuaja taka jest możliwa dla układów o stosunku mas bliskim 1.
Wtedy
zgodnie z przyjętą definicją fazy zero składnik pierwszy będzie miał
mniejszą masę. Otrzymamy wtedy stosunek mas $q>1$ ponieważ składnik
pierwszy ma większą amplitudę zmian prędkości radialnych. 


Na podstawie modelu źródła punktowego możemy pokazać idee wyznaczenia
podstawowych parametrów z krzywej RV.
Jeżeli posiadamy obserwacje spektroskopowe układu w których są widoczne linie  obu
składników możemy uzyskać krzywe ich prędkości radialnych.
Korzystajac z metody najmniejszych kwadratów możemy dopasować do nich dwie
sinusoidy wyznaczając w ten sposób obie amplitudy $K_1$ i $K_2$ oraz
prędkość radialną układu zaćmieniowego (środka mas) względem Słońca.
Prędkość radialną układu $V_{\gamma}$ jest widoczna na wykresie jako
 przesunięcie obu krzywych na osi prędkości (Rys. 2.6).
Stosunek mas wyznaczamy z wzoru $q=K_1/K_2$.  
Korzystając ze wzoru 2.12 możemy wyznaczyć wartość $a~sin~i$.

\begin{equation}
a~sin~i=(K_1 + K_2)\cdot P\cdot 0.01976
\end{equation}

gdzie okres $P$ jest w dobach, $K_{1,2}$ w kilometrach na sekundę a uzyskany
wynik w jednostkach promieni Słońca.

Jeżeli znamy wartość nachylenia orbity z fotometrii to dzieląc 
uzyskany wynik przez sinus kąta nachylenia otrzymujemy półoś wielką $a[R_{\odot}]$.
Masy składnikow w jednostkach masy Słońca możemy uzyskać korzystając ze wzoru
2.13.

\begin{equation}
m_{1,2}=\frac{1.038~10^{-7}(K_1+K_2)^2\cdot K_{1,2}\cdot P}{sin^3i}
\end{equation}

Wzory te można wyprowadzić z prawa powszechnego ciążenia oraz praw Kepler'a. 
Stałe liczbowe zależne są od przyjętego ukladu jednostek.


\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.65\textwidth]{rv-sin.eps}
\caption{Krzywa prędkości radialnych dla modelu źródła punktowego
 (linia przerywana) oraz dla dokładnego modelu (linia ciągła).}
\end{center}
\end{figure}


Model źródła punktowego to dobre pierwsze przybliżenie jednak gwiazdy nie są punktowymi
źródłami promieniowania lecz obiektami niesferycznymi o niejednorodnym rozkładzie
jasności na powierzchni.
Różnice w wyznaczonych amplitudach mogą różnić się o kilka procent. 
Aby wyznaczyc dokładnie krzywe prędkości musimy znaleźć średnią prędkość 
pochodzącą od wszystkich widocznych
(nie zaćmionych) elementów powierzchni, ważoną ich jasnością. Oznacza to
żę konieczne jest skorzystanie z dokładnych wzorów na kształt, rozmiary i rozkład
jasności obu składników.
Krzywa wyznaczona w ten sposób lepiej odpowiada danym obserwacyjnym i różni się od 
sinusoid modelu punktowego amplitudami oraz zniekształceniami krzywej w
okolicy zaćmień na skutek efektu Rossitera.
Efekt ten pojawia się w trakcie tranzytu jednego ze składników przez tarczę
drugiego. Gwiazdy rotują wokół własnych osi i w trakcie zaćmienia widzimy
różne części tarczy gwiazdy zakrywanej. Jeżeli widzimy część tarczy, która na
skutek rotacji zbliża się do nas obserwujemy obniżoną prędkość radialną i na
odwrót.

 

\subsection{Wpływ parametrów modelu na krzywe LC i RV^4}




\begin{table}[t]
\caption{Parametry opisujące układ podwójny w metodzie Willsona-Devinney.} 
%Zakres parametrów dla programu PHOEBE.} 
%Indeks oznacza że parametr jest zależny od długości fali.

\begin{center}
\begin{tabular}{lll}
\hline
\hline
oznaczenie & parametr & zakres/jednostka\\
\hline

\multicolumn{2}{l}{\emph{parametry związane z krzywą blasku}} \\
$i$ &                          nachylenie                  &0--90$^{\circ}$       \\
$\Omega_{12}$ &                  potencjał powierzchniowy  &  3--7       \\
$l_{12}$ &                        jasność                      &  $l_1+l_2=1$       \\
$T_{12}$ &                        temperatura                  &  3500--50 000K    \\
$x_{12}$ &                  wsp. pociemnienia brzegowego       &  0--1             \\
$A_{12}$ &                            albedo                   &  0.5/1            \\
$g_{12}$ &                   wsp. pojaśnienia grawitacyjnego   &  0.32/1           \\

&&\\
\multicolumn{2}{l}{\emph{parametry orbitalne}} \\
$q$ &                         stosunek mas                   &  0--1        \\
$a$ &     półoś wielka                                       &   $R_{\odot}$ \\
$V_{\gamma}$ &     prędkość radialna systemu                 &  $km\cdot s^{-1}$     \\

&&\\
\emph{orbity eliptyczne}&&\\
$e$ &           mimosród orbity                           &  0--1             \\
$\omega$ &      długość węzła                             &  0--360$^{\circ}$           \\

&&\\
\emph{inne parametry} &&\\
$F_{12}$ &         wsp. rotacji asynchronicznej           &  $F$=1 dla rot. synchr. \\
$l_3$ &           jasność trzeciego składnika             &  $l_1+l_2+l_3=1$ \\

&&\\
\multicolumn{2}{l}{\emph{parametry sterujące działaniem programu}}                \\
$n_{12}$ &             liczba warstw siatki na powierzchni    &  20--40           \\
$IPB$ &        włączenie zalezności $T_2-L_2$             &  0/1                  \\
$if_{(atm)}$ &    włączenie efektów nie Planckowskich         &  0/1                \\
$mode$ &           różne tryby(mody) pracy                &-1/0/1/2/3/4/5/6       \\


\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{table}

W tabeli 2.2 zestawiono podstawowe parametry opisujące układ zaćmieniowy w
metodzie WD. Podano w niej typowe wartości niektórych parametrów lub
stosowane jednostki.

Kształt krzywej blasku LC\footnote{Dla krzywych blasku 
i prędkości radialnych będziemy używać skrótów LC (light curve) oraz RV (radial velocities).}
zależy przede wszystkim od separacji między
składnikami, rozmiarami gwiazd i nachylenia orbity.
Jeżeli gwiazdy wypełniaja w znacznym stopniu swoje krytyczne powierzchnie
Roche'a wtedy zaćmienia są możliwe dla szerszego zakresu nachyleń. W
przeciwnym wypadku, czyli wtedy kiedy rozmiary gwiazd są małe w stosunku do
separacji, aby zachodziły zaćmienia nachylenie musi być bliskie $90^{\circ}$.
Nachylenie definiujemy jako jako kąt pomiędzy normalną do orbity oraz
kierunkiem do obserwatora.
Kąt $90^{\circ}$ odpowiada maksymalnej możliwej amplitudzie zmian blasku.
Jeżeli dla danego układu będziemy zmieniać kąt $i$ pod którym widzimy układ 
kształt krzywej blasku ulegnie zmianie.
Przy $90^{\circ}$ mamy zaćmienie całkowite centralne. Jeżeli składniki mają 
różne rozmiary zaćmienie będzie posiadało płaskie dno, dla składników o
jednakowych rozmiarach faza maksymalna trwa tylko chwilę. Dla nachyleń
mniejszych od $90^{\circ}$ mamy zaćmienia niecentralne i przy pewnym
nachyleniu granicznym mamy zaćmienie styczne. Poniżej tej wartości $i$
zachodzą zaćmienia częściowe.
Dla mniejszych nachyleń mamy mniejsze amplitudy zmian blasku.
Jężeli nachylenie jest zbyt małe by zachodziły zaćmienia możemy zaobserwować 
tzw. zmiany elipsoidalne związane z niesferycznym kształtem i niejednorodną
jasnoscią powierzchni i mają zazwyczaj amplitudy poniżej 0.1 mag.


\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{i3d.eps}
\caption{Wpływ nachylenia orbity na kształt krzywej blasku.}
\end{center}
\end{figure}

Kolejne cechy, które wpływają na kształt krzywej blasku to rozmiary i kształt
składników układu. Opisuje je potencjał powierzchniowy $\Omega_{12}$ który
określa pewne powierzchnie ekwipotencjalne ograniczające obie gwiazdy.
Wartości potencjału są najczęściej z zakresu 3--8. Wysokie potencjały
odpowiadają małym rozmiarom i sferycznej symetrii a niskie potencjały,
dużym rozmiarom i kształtowi kropli.
Gwiazdy o niskim potencjale mocno wypełniają krytyczną powierzchnie Roche'a.
Minimalna wartość potencjału dla danego składnika nie będącego w kontakcie z
drugim składnikiem to właśnie wartość
potencjału tej powierzchni krytycznej lub punktu Lagrange'a $L_1$.
Przy tej wartości potencjału gwiazda jest mocno zniekształcona i przez punkt
$L_1$ może nastąpić wypływ materii do składnika 2. Struga materii opada na drugi
składnik po łuku z powodu nadmiaru momentu pędu.
Stopień zniekształcenia przynajmniej jednego składnika możemy zaobserwować w
maksimach krzywej blasku. Dla zniekształconych (eliptycznych) składników 
mamy charakterystyczny garb w fazach 0.25 i 0.75.


\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{O3d.eps}
\caption{Wpływ potencjału powierzchniowego $\Omega_1$ na kształt krzywej blasku
($i<90^{\circ}$).}
\end{center}
\end{figure}
 
%jasność-temperatura\\


Dla orbit kołowych przy pierwotnym i wtórnym zaćmieniu mamy przesłanianą
taką samą powierzchnie. W takim przypadku spadek jasności układu zależy od 
temperatury fragmentu zaćmiewanego i wielkości efektu pocimnienia
brzegowego i pojaśnienia grawitacyjnego w tym obszarze. Głębsze minimum odpowiada sytuacji 
w której zaćmiewana jest
gwiazda o wyższej temperaturze. 
Jasność danego składnika zależy przede wszystkim od temperatury i promienia.  
W metodzie WD przyjęto następujące oznaczenia. Energie wypromieniowaną przez
gwiazdę we wszystkich kierunkach oznaczamy przez $L_1$ i $L_2$ (Luminosity).
W kodzie WD oraz w programie PHOEBE oznaczamy te wielkości przez
HLA\footnote{ Nazwy skrótowe HLA, CLA czy TAVC pochodzą z fortranowskiego kodu
WD. Nazwy zostały zestawione w dodatku 2.}   
 i CLA.
Program PHOEBE pozwala nam obejrzeć dopasowaną do obserwacji syntetyczną
krzywą w jednostkach strumienia i magnitudo. Jasność składników w
jednostkach strumienia są wyznaczane jako $HLA/4\pi$ i $CLA/4\pi$.
Poziomy HLA i CLA zależą od parametru $l_0$ - poziom zerowy do normalizacji
strumienia. Wartość $l_0$ odpowiada jasności układu w magnitudach w fazie
0.25 lub 0.75 (w kwadraturach) bez uwzględnienia efektu refleksu.
Jeżeli dobierzemy $l_0$ w ten sposób suma HLA i CLA wynosi 12.56 a w
jednostkach $4\pi$ jest równe 1.
W programie MINGA używamy unormowane do jedynki jasności $l_1+l_2=1$.
Jeżeli mamy więcej krzywych blasku w różnych filtrach będziemy mieli 
dla każdej krzywej zestaw parametrów $l_{12}$ (lub HLA, CLA).
Wartości w różnych filtrach będą oczywiście się różnić, odzwierciedla to
rożny kolor (temperature) składników.
Średnią efektywną temperaturę oznaczamy przez $T_1$ i $T_2$ (lub TAVH, TAVC).


Wpływ jasności $l_{12}$ i temperatur $T_{12}$ na krzywą blasku zależy od
stosowanego modu. Na przykład w modzie zero $L_2$ nie jest wyznaczany na
podstawie temperatury. Mod drugi jest identyczny za wyjątkiem tego że
zależność $L_2-T_2$ jest włączona. Jasność $L_2$ jest wyznaczana z
temperatur z zastosowaniem modelu ciała doskonale czarnego lub modeli atmosfer. 
Zależność $L_2-T_2$ jest domyślna dla modów $\ge 1$.
Możemy wyłączyć tą zależność ustawiając wartość parametru IPB=1 (normalna
wartość wynosi zero).


%pociemnienie brzegowe

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{albedo.eps}
\caption{Krzywe blasku dla trzech wartości albedo składnika drugiego.}
\end{center}
\end{figure}

%efekt refleksu

W pobliżu faz 0 i 0.5 składniki układu ustawiają się jeden za drugim
względem obserwatora. W tych fazach efekt odbicia jest największy.
Gwiazda znajdująca się z tyłu działa jak reflektor.
Na rysunku 2.9 widzimy wpływ zmian albedo składnika drugiego na krzywą
blasku.
Dla gwiazd bardzo bliskich może być potrzebne uwzględnienie wielokrotnego
odbicia. W programie PHOEBE mamy możliwość wybrania ile odbić chcemy
uwzględnić.  
W niektórych przypadkach efekt refleksu może mieć znaczny wpływ, na przykład
dla HZ Her mamy amplitudę odbicia 1.5 mag. Aby uzyskać dobry wynik musimy wtedy
zastosować szczegółowy model efektu odbicia.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{g.eps}
\caption{Elipsoidalne zmiany blasku składnika drugiego który 
wypełnia powierzchnie Roche'a dla trzech wartości wpółczynnika pojaśnienia
grawitacyjnego. Światło składnika 1 zostało wyłączone.}
\end{center}
\end{figure}

%poc. grawitacyjne
  
Pojaśnienie grawitacyjne jest maksymalne wtedy kiedy gwiazda jest
maksymalnie zniekształcona czyli kiedy wypełnia swoją powierzchnie Roche'a.
Na rysunku 2.10 widać krzywą zmian blasku tylko jednego ze składników (bez
zaćmień). Dla wartości g=0 zmiany blasku są spowodowane zmiennym przekrojem
zniekształconej gwiazdy widzianym przez obserwatora. Dla współczynników
pojaśnienia większych od 0 widać efekt pojaśnienia grawitacyjnego. 
Zmiany spowodowane tym efektem są zgodne w fazie ze zmianami elipsoidalnymi
, dodanie pojaśnienia grawitacyjnego powoduje zwiększenie amplitudy tych
zmian. Pojaśnienie grawitacyjne powoduje żę najwyższa temperatura jest na
biegunach a najniższa przy punkcie Lagrange'a $L_1$.          
	
% półoś wielka + q
Informacje o półosi wielkiej otrzymujemy z obserwacji spektroskopowych. Jest
ona czynnikiem skalującym. Znajomość jej wielkości pozwala nam wyznaczyć
absolutne wartości mas i promieni. Dla zadanego okresu mniejsze 
wartości półosi wielkiej odpowiadają mniejszym amplitudom krzywych RV. 
Stosunek mas decyduje o stosunku amplitud krzywych prędkości radialnych
$q=K_1/K_2$. Wpływa on również znacznie na kształt krzywych blasku.
Stosunek mas decyduje o kształcie i rozmiarach powierzchni ekwipotencjalnych. 
Wraz z potencjałami powierzchniowymi składników opisuje kształt i
rozmiary gwiazd (w stosunku do półosi wielkiej).

Kołowe orbity posiadają układy bliskie, w których występują duże siły pływowe 
i które miały wystaczająco dużo czasu na ukołowienie orbity.
Duża część układów podwójnych posiada jednak orbity eliptyczne. 
Zazwyczaj układy eliptyczne rozpoznajemy po przesuniętym minimum wtórnym
(Rys. 2.12).
Przesunięcie fazowe pomiędzy minimami nie wynosi 0.5 jak w przypadku orbit kołowych
(z wyjątkiem dwóch długości periastrum $90^{\circ}$ i $270^{\circ}$).
Oprócz przesunięcia minimum obserwujemy również zniekształcenie maksimów.
Na skutek niejednostajnego ruchu po orbicie maksima moga być asymetryczne.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{elipsa.eps}
\caption{Definicja długosci periastrum $\omega$ (lub $\lambda_{per}$) oraz 
fazy ruchu orbitalnego $\theta$. Linia węzłów jest przecięciem płaszczyzny
orbity oraz płaszczyzny stycznej do sfery niebieskiej.}
\end{center}
\end{figure}

W trakcie ruchu orbitalnego zmienia się odległość składników i kształt
powierzchni ekwipotencjalnych które ograniczają gwiazdy. W przypadku małej
odległości składniki są bardziej zniekształcone co powoduje że jedno z
maksimów jest bardziej zakrzywione. Płaskie maksimum odpowiada dużej
odległości składnikow.
Na Rys. 2.13 przedstawiony jest układ o orbicie eliptycznej dla różnych kątów
długości periastrum. Jest to równoważne z obserwowaniem układu z różnych
kierunków bez zmiany nachylenia orbity.
Głębokość zaćmień jest różna przede wszystkim na skutek różnej odległości 
między składnikami w trakcie zaćmień.
W rozdziale 3.4 omówiono obserwacje i model układu o orbicie eliptycznej
V821 Cas. W tym ukladzie zaobserwowano ruch linii apsyd - zmianę długości
periastrum. Powoduje to zmiane krztałtu krzywych LC i RV w czasie.
 
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{elipt.eps}
\caption{Porównanie krzywych blasku i prędkości dla tej samej pary gwiazd dla
orbity kołowej i orbity eliptycznej e=0.4.}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{eli2.eps}
\caption{Krzywe blasku i prędkości radialnych dla czterech wartości $\omega$
(0, 1.57, 3.14, 4.71 radianów). Spłaszczenie orbity wynosi e=0.3.}
\end{center}
\end{figure}


%Trzeci składnik\\
Układy zaćmieniowe odkrywane są w wyniku obserwacji
fotometrycznych. W niektórych przypadkach promieniowanie docierające do nas 
pochodzi od trzech gwiazd. Trzeci składnik może być częścią układu
zaćmieiowego lub gwiazdą tła która ma bardzo zbliżone współrzędne na sferze
niebieskiej.
Trzecie światło ($l_3$) dodane do promieniowania układu powoduje że głębokość
zaćmień w stosunku do całkowitego strumienia zmniejsza się. 
Zmniejszenie głębokości minimów można uzyskać również dla mniejszego
nachylenia orbity. Nachylenie i trzecie światło są mocno skorelowane co
może spowodować błędne oszacowanie tych wielkości w trakcie modelowania.
Identyfikacja trzeciego składnika jest możliwa w widmach gwiazdy lub w
przesunieciach momentów zaćmień na skutek wpływu trzeciej masy.
W rozdziale 3.5 został opisany układ potrójny GT UMa. W widmie układu wyraźnie
widać linie trzech składnikow.
W metodzie WD trzecie światło jest traktowane jako stałe. Typowym
przypadkiem jest sytuacja w której trzeci mało masywny składnik krąży wokół 
pary zaćmieniowej i nie uczestniczy w zaćmieniach.  
  


%n

Dokładności krzywych, które otrzymujemy zależą od liczby warstw siatki którą
stosujemy. Dla zbyt małych wartości $n$ widoczne są efekty dyskretyzacji
powierzchni gwiazdy - własności powierzchni gwiazdy syntetycznej zmieniają się 
skokowo a nie w sposób ciągły. W metodzie WD siatki składników opisywane
są przez parametry $n_1$ i $n_2$ odpowiednio dla każdego ze składników. Do wstępnych
dopasowań możemy stosować $n$ rzędu 20 a dla dokładnych modeli rzędu 35.
Oczywiście dla gwiazdy wypełniającej powierzchnie Roche'a musimy zastosować
więcej warstw niż dla gwiazdy o bardzo małych rozmiarach aby uzyskać
odpowiednią dokładność.

 


\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{n.eps}
\caption{Powiększenie fragmentu krzywej blasku (maksimum), widać różnice dla 
dwóch wartości $n$. Krzywe otrzymano programem MINGA.}
\end{center}
\end{figure}



\subsection{Mody}

Metoda WD jest dostosowana do różnych konfiguracji układów zaćmieniowych 
dzięki ośmiu modom z których możemy korzystać. Poniżej zostały opisane mody 
pracy programu WD dla wersji z roku 2004.

Mod -1 jest przeznaczony dla układów rentgenowskich, w których składnik
pierwszy to gwiazda neutronowa a składnik drugi jest zwyczajną gwiazdą.
Czas trwania zaćmienia gwiazdy neutronowej znamy z obserwacji
rentgenowskich.
Potencjał powierzchniowy gwiazdy towarzyszącej dopasowujemy tak aby czas
trwania zaćmień rentgenowskich zgadzał się z obserwacjami. Mod ten zezwala
na rotacje asynchroniczną składnika drugiego oraz na orbitę eliptyczną.

Najbliższy modelu Russela jest mod 0 który jest przeznaczony do modelowania
układów rozdzielonych. W tym modzie nie mamy ograniczeń: stosunek jasności
składników nie musi być w zgodzie z temperaturami. Jasność $L_2$ nie jest
wyznaczana na podstawie temperatur. Oznacza to że w tym modzie nie możemy
dopasowywać temperatury $T_2$.  
  
Dla gwiazd o wspólnej otoczce takich jak gwiazdy W UMa jest przeznaczony mod
1. W tym modzie przyjmuje sie iż gwiazdy są w kontakcie termicznym czyli ich 
temperatury powierzchniowe są równe co pociąga za sobą jednakowe lub
zbliżone parametry $g_{12}$, $A_{12}$, $x_{12}$, $y_{12}$.
Potencjały obu składników są również równe ponieważ układ wypełnia 
wspólną powierzchnie ekwipotencjalną.

Mod drugi jest identyczny z zerowym poza sposobem wyznaczania jasności
$L_2$. W tym modzie wyznaczamy jasność drugiego składnika na podstawie
temperatury. Możemy wyznaczyć temperaturę $T_2$ przy założonej $T_1$ (na
przykład na podstawie klasyfikacji widmowej) lub na
odwrót. 

Mod trzeci opisuje gwiazdę we wspólnej otoczce bez kontaktu termicznego.
Wspólny jest tylko potencjał powierzchniowy $\Omega_1=\Omega_2$. Parametry
opisujące rozkład jasności na powierzchni są różne dla obu składników.

Dla gwiazd półrozdzielonych dopasowujemy tylko potencjał (rozmiar, kształt)
składnika który nie wypełnia swojej powierzchni krytycznej, natomiast
potencjał składnika który osiągnął swój maksymalny rozmiar jest równy
potencjałowi jego powierzchni krytycznej. Dla układów półrozdzielonych są
przeznaczone mody 4 i 5 w których odpowiednio składniki pierwszy lub drugi są
gwiazdami wypełniającymi swoje powierzchnie krytyczne Roche'a. W tych modach
$L_2$ jest dowiązane do temperatur.








\subsection{Proces modelowania w praktyce}

W tym rozdziale omówimy proces modelowania od strony praktycznej, zwracając
uwagę przede wszystkim na układy rozdzielone i półrozdzielone. Omówimy 
pracę z programami bazującymi na metodzie WD takimi jak MINGA i PHOEBE. 

Proces modelowania układu zaćmieniowego jest procesem iteracyjnym w którym
parametry układu zostają dopasowywane metodą kolejnych przybliżeń. 
Aby proces ten był szybko zbieżny musimy określić możliwie dokładnie startowe 
wartości procesu minimalizacji.

Pierwsze informacje o układzie zazwyczaj otrzymujemy z obserwacji
fotometrycznych. W tabeli 2.3 przedstawiono niektóre systemy fotometryczne.
Często informacje w katalogach o słabszych obiektach (>9-10 mag) są bardzo niepewne. 
Podstawową informacją dla nas jest wskaźnik barwy. Dobrym źrodłem informacji o 
kolorze i jasności to katalog Tycho (1 i 2).
Wzory transformacji do systemu Johnsona są następujące:


{\setlength\arraycolsep{2pt}
\begin{eqnarray}
(B-V)=0.850(B_T-V_T)
\nonumber\\
V = V_T -0.090(B_T-V_T)
\end{eqnarray}}


Typu widmowe w katalogu PPM są bardzo niepewne i 
często znacznie rożnią się od wskaźników barwy. Wygodnym 
narzędziem do korzystania z danych zawartych w katalogach 
to baza danych SIMBAD ({\verb+ http://simbad.u-strasbg.fr/sim-fid.pl+} ).  
  

\begin{table}
\caption{Systemy fotometryczne}

\begin{center}
\begin{tabular}{cccc}
\hline
\hline
system &  pasmo & $\lambda_{eff}$    & FWHM    \\
       &        &    nm              &  nm     \\ 
\hline

UBVRI     &   $ U  $    &   365  &  66 \\
Johnson   &   $ B  $    &   445  &  94 \\
          &   $ V  $    &   551  &  88 \\
          &   $ R  $    &   658  &  138 \\
          &   $ I  $    &   806  &  149 \\
\\
Hipparcos &   Hp   &   550  &  225  \\
\\
ASAS-2    &  szeroki I &              &           \\       
ASAS-3    &  Johnson V  &        &           \\
\\
Tycho     &   $B_T$    &   420  &  75   \\
          &   $V_T$    &   510  &  100  \\


\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}





\subsubsection{Dobór parametrów startowych}

Pierwszych informacji o układzie zaćmieniowym dostarczają nam pomiary
fotometryczne. Wskaźnik barwy informuje nas o kolorze układu, który jest
wynikiem mieszania się światła pochodzącego od obu składników. Z niego nie
otrzymujemy bezpośredniej informacji o temperaturach składników. Wstępne
zapoznanie się z krzywą blasku pozwala nam w przybliżeniu ustalić w jakim
stopniu
zniekształcone są składniki lub przynajmniej jeden z nich. Jeżeli
maksima krzywej blasku są zakrzywione oznacza to ze przynajmniej jeden że
składników wypełnia bardziej swoją krytyczną powierzchnie Roche'a czyli jest
bardziej zniekształcony. Płaskie maksima informują nas, iż oba składniki są w
przybliżeniu sferyczne. Różnica w głębokościach zaćmień niesie informację o
stosunku temperatur obu gwiazd. W trakcie zaćmień głównego i wtórnego
powierzchnia zaćmiewana przez gwiazdy jest jednakowa\footnote{ 
Dotyczy to tylko układów o orbicie kołowej a dla orbity eliptycznej jest spełnione
tylko dla dwóch wartości długości periastrum.}. Jeżeli zaniedbamy
wpływ pociemnienia brzegowego i grawitacyjnego możemy zapisać prostą
zależność wynikającą z prawa Stefana - Boltzmana, która wiąże stosunek głębokości obu
minimów ze stosunkiem temperatur obu składników.


\begin{equation}
\Bigg(\frac{T_1}{T_2}\Bigg)^4=\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} 
\end{equation}

W pierwszym przybliżeniu możemy założyć iż temperatura pierwszego składnika
odpo-wiada wskaźnikowi barwy całego układu. Możemy wtedy określić temperaturę
drugiego składnika przy pomocy równania (2.15). Takie przybliżenie daje dobre
wyniki wtedy kiedy składnik pierwszy jest znacznie jaśniejszy od drugiego, w
przeciwnym wypadku uzyskane temperatury będą niższe od rzeczywistych.

Aby uzyskać lepsze przybliżenie musimy uwzględnić to iż kolor układu jest
,,średnią'' kolorów obu składników ważoną ich jasnością. 
Korzystając z takiej średniej ważonej możemy zapisać przybliżone wzory dla temperatur,
których dokładność jest w granicach 10-30 K.  



{\setlength\arraycolsep{2pt}
\begin{eqnarray}
T_1=\frac{T_{1+2}(L_1+L_2)+\Delta T \cdot L_2}{L_1+L_2}
\nonumber\\
\nonumber\\
T_2=T_1-\Delta T
\end{eqnarray}}



Wzory te możemy zastosować dopiero po uzyskaniu wstępnego modelu z którego
wyznaczamy jasności składników $L_{1,2}$ oraz różnice temperatur $\Delta T$.
Temperatura  $T_{1+2}$ odpowiadająca wskaźnikowi barwy całego układu którą
znamy z fotometrii. Wzór ten daje dobre przybliżenie póki $\Delta T$ jest 
na tyle małe aby kolor zależał liniowo od temperatury. 

Do wstępnych szacunków możemy stosować również wzór Zwittera (2003)

\begin{equation}
R^2_1 T^4_1+R^2_2 T^4_2 = (R^2_1+R^2_2)T^4_{1+2}
\end{equation}

gdzie $R_{1,2}$ to promienie składników ze wstępnego dopasowania. Wzór 
2.17  można stosować w przypadku małych różnic
temperatury składników. 
Lepszą metodą określenia temperatury składników jest oznaczenie typów
widmowych na podstawie wysokiej jakości widm wykonanych w fazach 0.25/0.75 kiedy
obserwujemy linie obu składników.

Na skutek poczerwienienia obserwowany kolor układu nie odpowiada
rzeczywistości, co powoduje zaniżenie szacunków temperatur obu składników.
Jeżeli znamy odległość do układu i nadwyżkę barwy $E(B-V)$ (str. 40 -
Wyznaczenie parametrów absolutnych) możemy wprowadzić poprawkę na
poczerwienienie.
Alternatywnie możemy skorzystać z wskaźników $c_1$ i $(b-y)$ z systemu 
wielobarwnego $uvby$. Są one niezależne od ekstynkcji, z wyjątkiem
przypadków, w których 
mamy odstępstwa od prawa poczerwienienia. Korzystając z diagramu
dwuwskaźnikowego $c_1-(b-y)$ (Kubiak 1994, str. 157) zawierającego siatkę 
krzywych temperatury i log(g) możemy określić temperaturę układu $T_{1+2}$. 

Jedna z nowości w programie PHOEBE to możliwość usuwania efektu
poczerwienienia z krzywych blasku (Prša 2005b). 





\vspace{5mm}

Wyznaczenie wartości wstępnych dla $\Omega_{12}$ jest trudne ze względu na
dużą ilość możliwych konfiguracji zależnych od $q$ i $i$. Jednak możemy
podać orientacyjne granice zakresów wartości dla różnych krzywych blasku.


\begin{itemize}
\item układ rozdzielony - płaskie maksima  \\
Oba potencjały są rzędu 6-7 lub większe   

\item układ rozdzielony - zakrzywione maksima  \\
 Przynajmniej jeden składnik ma niższy potencjał rzędu 4-5   

\item układ półrozdzielony - zakrzywione maksima lub ciągle zmiany blasku \\ 
Składnik wypełniający powierzchnie Roche'a posiada potencjał powierzchniowy rzędu
 2-3 

\item układ kontaktowy - ciągle zmiany blasku   \\
Układ jest opisany pojedyńczym potencjałem z zakresu $ \Omega_{L_1}>\Omega>\Omega_{L_2}$ 
\end{itemize}


\begin{table}[b]
\caption{Wartości potencjału powierzhniowego dla punktów Lagrange'a 1, 2
przy różnych stosunkach mas.}

\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccc}
\hline
\hline
q &  0.5 & 0.75 & 1 \\
\hline

$L_1$     &   $ 2.88  $    &   $ 3.33 $  &  $ 3.75 $ \\
$L_2$     &   $ 2.58  $    &   $ 2.90 $  &  $ 3.21 $ \\

\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}



Kolejne parametry które musimy określić dla naszego punktu startowego to
współczynniki pociemnienia grawitacyjnego, brzegowego oraz albedo.
Wartości współczynników pociemnienia brzegowego pobieramy z tablic
Wadea i Rucinskiego (1985) lub Van Hamme'a (1993) (Tab. 2.5).


\begin{table}[!]
\caption{Liniowe współczynniki pociemnienia brzegowego $x$ (Van Hamme) dla
$log(g)=4$ w trzech filtrach dla czterech wartości temperatur efektywnych.}

\begin{center}
\begin{tabular}{cccc}
\hline
\hline
$T[K]$ &  $U$ & $V$ & $I$ \\
\hline

4000     &   $ 1.027  $    &   $ 0.824 $  &  $ 0.550 $ \\
6000     &   $ 0.764  $    &   $ 0.573 $  &  $ 0.384 $ \\
8000     &   $ 0.548  $    &   $ 0.517 $  &  $ 0.321 $ \\
10000    &   $ 0.459  $    &   $ 0.412 $  &  $ 0.253 $ \\

\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}




Wartości albedo $A$ i współczynnika pojaśnienia grawitacyjnego $g$ przyjmują dwie
wartości w zależnośći od typu atmosfery:
\begin{itemize}
\item[--] atmosfera konwektywna - $A=0.5$ i $g=0.32$ 
\item[--] atmosfera promienista ~~- $A=1.0$ i $g=1.0$
\end{itemize}

Dla gwiazd o temperaturze powierzchni powyżej 8000K przyjmujemy atmosfere promienistą.  


%\vspace{5mm}
%\emph{Proces modelowania}
%\vspace{3mm}


 


\subsubsection{Proces modelowania}


Parametry, które najczęściej są dopasowywane metodą WD dla obserwacji
fotometrycznych dla układów
rozdzielonych to nachylenie $i$, potencjały powierzchniowe $\Omega_{12}$ oraz
jasności składników $l_{12}$ lub temperatura $T_2$.
Z krzywych RV mamy informację o~ $a~sin~i$, $q$, $V_{\gamma}$.
Obserwacje fotometryczne pozwalają nam określić rozmiary składników w
jednostkach względnych gdzie odległość składników równa jest 1. Obserwacje
spektroskopowe pozwalają nam wyznaczyć $a~sin~i$ co w połączeniu z
wyznaczonym z fotometrii nachyleniu daje nam rozmiar półosi wielkiej
$a[R_{\odot}]$. Zatem
obserwacje spektroskopowe są dla nas czynnikiem skalującym układ. Innymi
słowy na podstawie spektroskopii wiemy czy układ ma małe rozmiary i znajduje
się blisko czy też ma duże rozmiary i znajduje się w dużej odległości od nas.  
Dane RV i LC ,,zazębiają'' się ponieważ krzywa RV nie wystarczy do
wyznaczenia półosi wielkiej a krzywa LC nie określa jednoznacznie stosunku
mas. 

Parametry opisujące układ możemy podzielić na trzy grupy: dopasowane,
stałe i tablicowe. Aby proces minimalizacji był optymalny nie możemy
dopasowywać dowolnej liczby parametrów (patrz 2.9). Dlatego warto założyć
stałość niektórych spośród nich. Najczęściej parametry stałe to okres $P$,
eliptyczność orbity $e$, współczynnik synchronizacji $F_{1,2}$ lub
temperatury $T_{1,2}$. Jednak każdy z tych parametrów w razie potrzeby może
być dopasowany. Parametry tablicowe to współczynniki pociemnienia brzegowego 
$x_{1,2}$, albedo $A_{1,2}$, wspołczynnik pojaśnienia grawitacyjnego $g_{1,2}$.
Parametry tablicowe można również dopasować jednak ich wpływ na kształt krzywej
blasku jest stosukowo słaby co oznacza, że są one gorzej określone i takie
dopasowanie może dać błędne wyniki zwłaszcza dla gorszej jakości danych lub
jeżeli uwolnimy je już na etapie wstępnym, kiedy jesteśmy
daleko od minimum funkcji $\chi^2$ czyli daleko od rozwiązania.  
Parametry które mocno wpływają na kształt krzywych to 
\begin{itemize}
\item[--] dla krzywej RV:~$a$, $i$, $q$, $V_{\gamma}$
\item[--] dla krzywej LC:~$i$, $q$, $\Omega_{12}$, $l_{12}$ lub $T_{2}$
\end{itemize} 


W tabeli 2.6  mamy wyszczególnione parametry dopasowywane w zależności 
od posiadanych danych. Parametry oznaczone znakiem (+) w nawiasach mają niepewne
wartości.
Na przykład stosunek mas wyznaczony z obserwacji fotometrycznych $q_{ph}$ jest
niepewny z wyjątkiem przypadku układu półrozdzielonego lub kontaktowego. 
W układach rozdzielonych $q_{ph}$ jest niepewne ze względu na silną
korelację z potencjałami powierzchniowymi i nachyleniem orbity.        
Znaki (?) oznaczają możliwość określenia temperatury z widm.
Jakość dopasowania określa zredukowane $\chi^2$:  

\begin{table}
\caption{Możliwości wyznaczenia parametrów układu podwójnego w zależności od
posiadanych obserwacji (Kalrath i Milone 1999)}

\begin{enumerate}
\item przynajmniej jedna krzywa blasku
\item tylko jedna krzywa RV
\item obie krzywe RV i żadna LC
\item przynajmniej jedna krzywa LC i jedna RV
\item przynajmniej jedna krzywa LC i obie krzywe RV
\end{enumerate} 


\begin{center}
\begin{tabular}{lccccc}
\hline
&1&2&3&4&5 \\
\hline
$a_1sin~i$ lub $a_2sin~i$               & &+&+&+&+\\
$a~sin~i$, $a_{1,2}sin~i$, $M_{1,2}sin^3i$   & & &+& &+\\
$a$, $a_{1,2}$, $M_{1,2}$, $R_{1,2}$, $L_{1,2}$, $d$  & & & &(+)&+\\
$e$, $\omega$, $P$                        &+ &+ &+ &+ &+\\
$V_{\gamma}$                            & &+ &+ & &+\\
$q_{sp}$                                & & &+ & &+\\
$q_{ph}$                                &(+) & & &(+) &(+)\\
$i$, $R_{1,2}/a$, $l_2/l_1$, $g_{1,2}$, $A_{1,2}$, $F_{1,2}$, $x_{1,2}$, $l_3$       &+ & &
&+ &+\\
$T_2$                                   &+ &(?) &(?) &+ &+\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}


%\vspace{5cm}






\begin{equation}
\chi^2_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{N_k} \sum_{j=1}^{N^i_{obs}}(O_{ij}-C_{ij})^2
w_{ij}
\end{equation}

gdzie:
\begin{itemize}
\item[--] $N_k$ liczba analizowanych krzywych 
\item[--] $N^i_{obs}$ liczba punktów w i-tej krzywej
\item[--] $w$ wagi poszczególnych obserwacji
\item[--] $n$ ilość stopni swobody $n=N_{obs}-N_{par}$
\item[--] $N_{par}$ liczba zmiennych parametrów układu
\end{itemize}


Program WD jest złożony z dwóch bloków. Pierwszy to LC który generuje krzywe
blasku i prędkości radialnych oraz profile linii widmowych. Drugi blok DC
(Differential Corrections) zapewnia dopasowanie parametrów modelu.
Proces minimalizacji polega na znalezieniu zestawu parametrów opisujących
układ o najmniejszej wartości funkcji $\chi^2$ czyli minimalnymi różnicami
pomiędzy obserwacjami a układem syntetycznym.
W praktyce modelowanie polega na iteracyjnym uruchamianiu obu bloków.
W procesie minimalizacji (DC) mogą się pojawić problemy ze zbieżnością lub 
identyfikacją globalnego minimum. 

Pierwszym możliwym utrudnieniem jest zbyt szerokie lub płytkie minimum w
przestrzeni parametrów. Kształt minimum zależy od zestawu dopasowywanych
parametrów. Dla większej liczby parametrów dopasowywanych minimum staje się   
bardziej rozmyte. Sytuacje można poprawic ograniczając ich liczbę. 

Kolejną przyczyną problemów ze zbieżnością procesu dopasowania jest  
niewystarczająca precyzja wyznaczanych numerycznie residuów i pochodnych w
DC. Sytuację poprawia stosowanie pochodnych symetrycznych jednak one
spowalniają proces obliczeniowy.
 
Kombinacja dwóch warunków, nieliniowości równania stanu i korelacji pomiędzy
parametrami może również zakłócić proces poszukiwania minimum.
Aby pozbyć sie niektórych korelacji między parametrami możemy podzielić je
 na grupy tak aby każda zawierała conajwyżej dwie pary mocno
skorelowane.
Dopasowanie wykonujemy wyzwalając kolejno każdy z zestawów parametrów.
Metoda ta jest znana jako MMS (Method of Multiple Subsets). Zazwyczaj
mniejsza grupa parametrów dopasowywanych powoduje iż szacowane błędy są 
mniejsze, minimum jest głębsze. Z tego powodu w ostatecznym dopasowaniu 
musimy wyzwolić wszystkie parametry dopasowywane aby uzyskać poprawną
informacje o błędach dopasowanych parametrów.

W trakcie minimalizacji proces może trafic w ślepą uliczke - minimum
lokalne. 
O tym czy otrzymane minimum jest najgłębsze (minimalne $\chi^2$)
możemy wnioskować na dwa sposoby.
Pierwszy sposób to wykonanie dużej liczby próbnych dopasowań 
z różnych punktów startowych. Jeżeli znajdziemy więcej niż jedno minimum 
możemy wybrać to najgłębsze.
Alternatywnie możemy zastosować metodę siatki rozwiązań (GRID).
Metoda polega na stworzeniu 2D siatki parametrów. Zazwyczaj używa sie 
parę mocno skorelowaną, na przykład nachylenie $i$ oraz stosunek mas $q$ 
(Rys. 2.15). Dla każdej pary 
$i$-$q$ wykonywane jest dopasowanie w którym te parametry są stałe.
Otrzymujemy mapę $\chi^2$ dla każdej pary wartości $i$-$q$. 

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{chi2.eps}
\caption{Trójwymiarowa mapa $\chi^2$ nachylenia i stosuku mas.
dla BD-00~3357. Najmniejsza wartość $\chi^2$ jest w okolicach 
otrzymanego rozwiązania q=0.78 oraz i=75$^{\circ}$ (rozdział 3.2).}
\end{center}
\end{figure}

    
Program PHOEBE (Prša 2005a) używa do minimalizacji metodę korekcji różnicowych DC.
Jednak niektóre parametry dopasowuje się metodę Levenberga-Marquardta
aby uzyskać lepszą zbieżność. Takie parametry to półoś wielka, okres i 
moment głównego tranzytu ($HJD_0$ lub $T_0$). 
W trakcie korzystania z PHOEBE stwierdzono problemy z zbieżnością.
Kolejne iteracje poprawiają $\chi^2$ jednak po osiągnięciu okolic minimum
otrzymujemy wahania w tej okolicy bez ostatecznego ustabilizowania się.
Taką sytuacje obserwowano przy dopasowaniach nachylenia, potencjałów i
jasności. Dla półosi wielkiej, stosunku mas i prędkości układu minimalizacja 
zbiega się. Dobrą zbieżność uzyskujemy rownież dla długości periastrum, 
przesunięcia fazowego i mimośrodu orbity.  
Stosowanie MMS poprawia sytuacje z wyjatkiem bardzo bliskiego otoczenia minimum.
Dodatkową możliwością poprawienia efektywności jest metoda Marquardta
(1963). Metoda ta została dołączona do DC w roku 1998. Dobierajac odpowiednio
wartość parametru $\lambda$ możemy poprawic zbieżność.


%  -- MINGA --

\vspace{0.5cm}
W programie MINGA blok DC jest zastąpiony przez pakiet procedur
minimalizujących oraz do analizy dopasowań.
Program MINGA powstał na podstawie trzech programów. Pierwszy z nich to
pakiet MINUIT do minimalizacji funkcji wielu zmiennych. Oryginalne źródła
pochodzą z biblioteki CERNLIB.
Drugi składnik to kod Wilsona generujący krzywe blasku i prędkości
radialnych. Trzecim składnikiem jest propgram PRICE do minimalizacji
globalnej (Plewa 1993).

Autor programu T. Plewa (1988) proponuje następujący przepis na uzyskanie rozwiązania
globalnego:

\begin{itemize}
\item analiza wstępna - mapowanie funkcji $\chi^2$, GRID

\item procedura minimalizacji SIMPLX - efektywna daleko od minimum

\item stosujemy procedure MIGRAD do końcowego minimum.

\item analiza otrzymanego rozwiązania HESSE
\end{itemize}

Na początku tworzymy siatke GRID w której niektóre parametry są 
stałe. Pozwala to nam zorientować się w globalnych własnościach funkcji
$\chi^2$. Możemy wyznaczyć 1 lub więcej potencjalnych obszarów w których 
może znajdować się globalne minimum.
Badanie obszarów o niskich wartościach $\chi^2$ wykonujemy kolejno 
procedurami SIMPLX i MIGRAD.
 
 
 
\subsubsection{Ważenie obserwacji - błędy modelu}

Programy służące do modelowania układów zaćmieniowych muszą uwzględniać 
różną jakość zestawów obserwacji jak również różnice w jakości
poszczególnych punktów. 
Złe oszacowanie jakości obserwacji może spowodować że otrzymany model 
będzie niepoprawny a błędy parametrów modelu źle określone.

Błędy/wagi poszczególnych obserwacji otrzymujemy w trakcie redukcji przy pomiarze 
jasności lub prędkości radialnej. Związek pomiędzy wagą $w$ a błędem $\sigma$ w
ogólności jest następujacy:

\begin{equation}
w=\frac{1}{\sigma^2}
\end{equation}

Szacowane błędy wyników w programach MINGA oraz PHOEBE zależą
przede wszystkim od rozrzutu obserwacji, korelacji miedzy parametrami, lecz
również niektórych przyjętych wartosci jak:

\begin{itemize}
\item indywidualnych błedów/wag punktów obserwacyjnych
\item wag poszczególnych zestawów obserwacji
\item od doboru parametru $l_0$ odpowiadającego za normalizacje strumienia
%\item jasności układu $l_0$ w kwadraturze w danym filtrze

\end{itemize}


%%%%%%%%%%%PHOEBE

W programie PHOEBE ważenie zestawów obserwacji realizuje się przez 
podanie wartości $\sigma$ dla każdego zestawu. Indywidualne błędy/wagi 
znajdują się w pliku z obserwacjami. Program umożliwia cztery sposoby
określenia indywidualnych błędów poszczególnych punktów.  

\begin{itemize}
\item błędy zewnętrzne (absolute error) - znane z procedury pomiaru 
lub z wcześniejszych obserwacji 

\item wagi rzeczywiste (real weight) - wyliczane z błędów zewnętrznych 

\item wagi względne (intrinsic weight) - nie znamy rzeczywistych wag tylko 
stosunek wag poszczególnych obserwacji

\item brak inf. o jakości punktów (wszystkie punkty traktujemy jednakowo)

\end{itemize}

Ważenie jest kluczowe zwłaszcza jeżeli dopasowujemy jednocześnie krzywe LC
oraz RV. Na przykład jeżeli nadamy przeszacowane wartosci wag RV a
dopasowujemy nachylenie, potencjały i jasności otrzymamy błędne wyniki
ponieważ krzywa RV słabo określa te parametry.

Ważenie zestawów możemy stosować do chwilowego wyłączenia wpływu części
obserwacji do celów testowych. Na przykład nadając niską wage (wysoka $\sigma$)  
możemy wyłączyć wpływ LC, po to aby otrzymać parametry $a$, $q$, $V_{\gamma}$
tylko na podstawie krzywej RV. Tego typu testy pozwalają nam określić
spójność dopasowań LC/RV.


%%%%%%%%%%%MINGA

Program MINGA również umożliwia ważenie zestawów obserwacyjnych 
jak toteż określenie jakości poszczególnych obserwacji poprzez 
wagi/błędy.

Dodatkowe informacje na temat błędów szacowanych różnymi programami 
są zawarte w rozdziale 3.1.

%%%%%%%%%%%PKT. NORMALNE

W niektórych przypadkach wskazane jest tworzenie punktów 
normalnych z obserwacji. Stosowane są w obserwacjach fotometrycznych
ze względu na duża liczbę punktów obserwacyjnych. Zmniejszamy w ten sposób liczbę 
danych wejściowych dla programu WD co powoduje przyspieszenie jego
działania.
Punkty normalne pozwalają nam również dużo lepiej ocenić wizualnie 
jakość dopasowania, zwłaszcza dla krzywych o znacznym zaszumieniu.
Uśrednianie obserwacji możemy wykonać na podstawie wzoru na średnią ważoną.

\begin{equation}
%l_{norm}=\frac{\sum_{i}l_i w_i }{\sum_{i}w_i}
l_{norm}=\frac{\sum l_i w_i }{\sum w_i}
\end{equation}

Jeżeli mamy równe wagi wzór ten upraszcza się do zwykłej średniej
arytmetycznej. Punkty normalne zmniejszają rozrzut krzywej zgodnie ze 
wzorem 

\begin{equation}
\sigma_{norm}=\frac{\sigma_{obs}}{\sqrt{n}}
\end{equation}

gdzie $n$ to liczba punktów uśrednionych do punktu normalnego.
Musimy być jednak ostrożni przy stosowaniu punktów normalnych 
ponieważ przesadne wygładzanie krzywej może doprowadzić do utraty 
informacji o jej kształcie w obszarach dużej zmiany jasności - minima,
początki i końce zaćmień.	


%\vspace{5mm}
%\emph{Wyznaczenie parametrów absolutnych}
%\vspace{3mm}

\subsubsection{Wyznaczenie parametrów absolutnych}

Większość gwiazd które obserwujemy to gwiazdy ciągu głównego. 
Jeżeli składniki naszego układu są w fazie palenia wodoru
możemy o nich dowiedzieć się więcej z tabeli 2.7.

\begin{table}
\caption{Podstawowe parametry gwiazd ciągu głównego. Wszystkie dane 
oprócz $L/L_{\odot}$ na podstawie A. Cox (1999). Jasność gwiazd na podstawie
M. Kubiak (1994).}

\begin{center}
\begin{tabular}{ccccccc}
\hline
\hline
Sp  &  B-V    &  T_{eff}     &  $M/M_{\odot}$  &  $R/R_{\odot}$  &  $L/L_{\odot}$ & BC \\
\hline
M0V &  +1.40   & 3840   &  0.51           &  0.60   &  0.077  & -1.38\\
K0V &  +0.81   & 5150   &  0.79           &  0.85   &  0.42   & -0.31\\
G0V &  +0.58   & 5940   &  1.05           &  1.1    &  1.5    & -0.18\\
F0V &  +0.30   & 7300   &  1.6            &  1.5    &  6.5    & -0.09\\
A0V &  -0.02   & 9790   &  2.9            &  2.4    &  54     & -0.30\\
B0V &  -0.30   & 30000  &  17.5           &  7.4    &  $5.2\cdot10^4$ &-3.16\\
O5V &  -0.33   & 42000  &  60             &  12     &  $7.9\cdot10^5$ &-4.40\\

\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

 





Aby wyznaczyć promienie składników w jednostkach absolutnych musimy
skorzystać z równań 2.4, 2.5, 2.6 i tablicy 2.1. Na podstawie tych równań dostajemy 
cztery promienie dla każdego składnika w jednostkach separacji składników.
Aby przejść do jednostek absolutnych musimy te wyniki przemnożyć przez
wartość półosi wielkiej $a[R_{\odot}]$. 
Masę układu możemy wyznaczyć z równania: 

\begin{equation}
M=\frac{4\pi^2 a^3}{P^2G}
\end{equation}

znając stosunek mas wyznaczamy masę poszczególnych składników 


{\setlength\arraycolsep{2pt}
\begin{eqnarray}
m_1=M/(1+q)
\nonumber\\
m_2=M/(q^{-1}+1)
\end{eqnarray}}

Jeżeli wartośći parametrów wyrażone są w jednostkach SI otrzymujemy wynik
w kilogramach. Aby przeliczyć masy na jednostki masy Słońca dzielimy je przez
masę Słońca równą $1.9891\cdot10^{30}kg$

\vspace{10mm}
\emph{Wyznaczenie odległości - ekstynkcja}
\vspace{3mm}

Do wyznaczenia odległości korzystamy z wzoru na paralaksę fotometryczną

\begin{equation}
\pi=10^{\frac{M_V-5-m_V+A_V}{5}}
\end{equation}

Musimy zatem znać jasność absolutną $M_V$, jasność obserwowaną $m_v$ oraz 
ekstynkcję miedzygwiazdową $A_v$. Jasność obserwowaną układu znamy z obserwacji
fotometrycznych a jasność absolutną dla poszczególnych składników wyznaczamy
na podstawie modelu i ze wzoru

\begin{equation}
M_{V_{1,2}}=42.37+5log(R_{1,2})-10log(T_{1,2})-BC_{1,2}
\end{equation}

gdzie promienie składników $R_{1,2}$ podstawiamy w jednostkach promieni
Słońca a temperatury w kelwinach. Bolometryczne poprawki $BC_{1,2}$ pobieramy
z tablic.

Jasnośći $M_{V_1}$ i $M_{V_2}$ sumujemy zgodnie ze wzorem

\begin{equation}
M_V=-2.5log\Big(10^{-0.4M_{V_1}}+10^{-0.4M_{V_2}} \Big)
\end{equation}

uzyskując jasność absolutną układu w filtrze V.
Jeżeli zaniedbamy ekstynkcje $A_V=0$ i podstawimy do równania 2.24 
otrzymujemy paralaksę fotometryczną $\pi$[arcs]. Aby uzyskać wynik w parsekach 
korzystamy ze wzoru 2.27 podstawiając $\pi$ w sekundach łuku.

\begin{equation}
d[pc]=\Big(tg(\pi)\cdot 206265 \Big)^{-1}
\end{equation}


Jeżeli sytuacja wymaga uwzględnienia ekstynkcji międzygwiazdowej do
rozwiązania musimy dojść metodą iteracji ponieważ odległość zależy od
ekstynkcji a ekstynkcja zależy od odległości :). W pierwszym przybliżeniu
możemy zastosować $A_V=0$. Wynik uzyskanej tak odległości używamy do
wyznaczenia pierwszego przybliżenia ekstynkcji

\begin{equation}
A_V=3.1\cdot E(B-V)\cdot d[Kpc]
\end{equation}

gdzie $E(B-V)$ to nadwyżka barwy, którą znamy z map ekstynkcji Burnstein'a i
Heiles'a (1982) a $d$ jest odległością w kiloparsekach.
Po kilku iteracjach wartości $A_V$ i $d$ stabilizują się.
Jednak w tym przypadku paralaksa jest obarczona błędem systematycznym z
powodu niejednorodnego rozkładu maskującej materii.

Alternatywnie nadwyżkę barwy możemy wyznaczyć na podstawie wskaźników $C_1$
oraz $(b-y)$ (strona 34). Na ich podstawie znamy ,,rzeczywistą'' barwę
układu, którą możemy porównać z obserwowaną.

Dla obiektów bliskich możemy porównać otrzymane wyniki z paralaksą 
trygonometryczną.
Takie paralaksy dobrze się uzupełniają: trygonometryczna ma mały
błąd systematyczny a duży losowy natomiast fotometryczna odwrotnie.
Parametry absolutne, masy i rozmiary, możemy skonfrontować z teorią 
ewolucji (Rozdział 2.2). 








%-------------------------------------- Ewolucja ------------------------
\newpage

\section{Ewolucja gwiazd podwojnych}

Korzystając z metody Wilsona-Devinney jesteśmy w stanie wyznaczyć masy, promienie oraz 
temperatury składników układu podwójnego. Wyniki te oparte są na
obserwacjach fotometrycznych i spektroskopowych. 
Początkowa masa i skład chemiczny gwiazdy określa jej przyszłą ewolucję.
Modele ewolucyjne pozwalają nam prześledzić zmiany promienia i temperatury w
czasie. 
Porównując uzyskany model (WD) układu z teorią ewolucji możemy zweryfikować
spójność naszego rozwiązania. 
W praktyce polega to na wykreśleniu ciągów ewolucyjnych 
dla obu składników na wykresie log(g)--log(T) i sprawdzeniu zgodności z
otrzymanym modelem. 
Dokładne modele WD określające masy i promienie z dokładnością poniżej 1\% 
mogą posłużyć do weryfikacji teoretycznych modeli ewolucyjnych.

Współczesnie przyjmuje sie że gwiazdy podwójne powstają jednoczśnie z
wspólnego obłoku protogwiazdowego. W trakcie
kurczenia sie tego obłoku na skutek nadmiaru momentu pędu
może nastapić jego rozerwanie na dwie części orbitujące wokół siebie.
Po dalszej kontrakcji składników wchodzą one na ciąg główny. Wraz z wiekiem
ich rozmiary stopniowo będą rosły.
W zależności od separacji ukladu możemy podać dwa scenariusze ewolucji
układu. W przypadku dużej odległości składników, dla których nie nastąpi
wypełnienie krytycznej powierzchni Roche'a, ewolucja przebiega 
w przybliżeniu tak, jak dla gwiazd pojedyńczych i zależy przede
 wszystkim od poczatkowej
masy i składu chemicznego danego składnika. Dla układów bliskich dochodzi do
wymiany materii, która zostaje zapoczątkowana w chwili kiedy składnik 
masywniejszy, ewoluujący szybciej, wypełni swoją krytyczną
powierzchnię Roche'a i jego materia zaczyna przelewać sie na sąsiada.    


\subsection{Ewolucja pojedyńczej gwiazdy}

Życie gwiazdy jest zdeterminowane poprzez jej początkową masę oraz skład
chemiczny. Gwiazdy małomasywne spalają powoli swoje paliwo i żyją wiele
miliardow lat. Taką gwiazdą jest nasze Słońce. 
Gwiazdy masywne zaś żyją krótko, niektóre zaledwie kilkadziesiąt milionów
lat. Kończą swoje życie olbrzymią eksplozja gwiazdy supernowej.

Gwiazdy powstaja z ogromnych obłoków molekularnych które zapadają się pod
wpływem samograwitacji w dynamicznej skali czasu.
Stopniowo zaczyna wzrastać nieprzezroczystość co powoduje wzrost
temperatury. Obłok spowalnia kontrakcje, teraz zapada się w termicznej skali
czasu. Wraz ze wzostem temperatury następuje dysocjacja molekuł wodoru a
później jonizacja atomów. 
Po fazie kontrakcji pierwotnego obłoku
następuje moment w którym temperatura i 
ciśnienie w jądrze protogwiazdy powodują zapłon reakcji syntezy jądrowej.
Pierwsze reakcje jakie mają miejsce to spalanie lekkich izotopów, takich jak
deuter i lit. Najlżejsze gwiazdy o masach mniejszych od $0.08 M_{\odot}$
nie są w stanie uzyskać w jądrze warunków do dalszych reakcji. Po wypaleniu 
lekkich izotopów powoli stygną. Nazywamy je brązowymi karłami.
Gwiazdy masywniejsze zwiekszają wciąż swoją temperaturę i wchodzą na ciąg
główny (c.g., MS - main sequence), gdzie rozpoczynają się reakcje przemiany
wodoru w hel. Faza poprzedzająca wejscie gwiazdy na c.g. (pre-MS) jest stosunkowo
krótka, dla gwiazd typu Słońca trwa około 75 milionów lat. 
Poczatek fazy ciągu głównego nazywamy ZAMS (zero age main sequence) czyli
ciąg główny wieku zerowego.
Ta faza życia gwiazd jest najdłuższa dlatego większość gwiazd które
obserwujemy to gwiazdy c.g.

  
W gwiazdach o masie mniejszej niż 1.5 $M_{\odot}$ przeważają reakcje typu
p-p. W gwiazdach masywniejszych przeważa proces CNO, który wymaga wyższej
temperatury.
Gwiazdy podobne do Słońca po około 7 mld. lat na c.g. przechodzą w fazę
podolbrzymów SGB (Sub Giant Branch) w której reakcje jądrowe które dotąd
zachodziły w jądrze gwiazdy przenoszą się do otaczającej je warstwy palenia.
Dla mas większych niż 1 $M_{\odot}$ po wypaleniu wodoru w centrum następuje kontrakcja
jądra i przebudowa. Gwiazda przesuwa się na prawo na wykresie jasność-temperatura.
Zwiększenie temperatury umożliwia spalanie wodoru w otoczce helowego jądra.
Ta faza w życiu gwiazd o masie rzędu $1 M_{\odot}$ nazywamy fazą
czerwonych olbrzymów RGB (Red Giants Branch). W fazie RGB hel jest
syntezowany w warstwie otaczającej helowe jądro gwiazdy. 
  
Dla gwiazd o masie mniejszej niż około $2 M_{\odot}$ faza RGB kończy się
błyskiem helowym - zapłonem reakcji w helowym jądrze. 
W kolejnych fazach nastepuje palenie helu, początkowo w jądrze a potem w
warstwach wokół jądra. W centrum zaczyna tworzyć się jądro węglowe.
Gwiazdy masywniejsze (>$1.5M_{\odot}$) po wypaleniu wodoru w jądrze przechodzą przez 
pas niestabilności. Gwiazdy w tej fazie obserwujemy jako Cefeidy, RR Lyrae lub
W Virginis.  
Gwiazdy o masie mniejszej niż $8 M_{\odot}$ kończą swoją ewolucje na
asymptotycznej gałęzi olbrzymów (AGB - Asymptotic Giant Branch).


\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{HR.eps}
\caption{Główne obszary koncentracji gwiazd na wykresie HR. Obrazek na
podstawie J. Binney (1998).}
\end{center}
\end{figure}



\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.47\textwidth]{HR1.eps}
\caption{Wykres HR dla gwiazd o masach od 0.5 do 15 $M_{\odot}$. Obrazek na
podstawie M. Kubiak (1994).}
\end{center}
\end{figure}

Rysunek 2.16 przedstawia wykres HR dla różnych mas, zaznaczono na nim
podstawowe etapy ewolucji:  

\newpage

\begin{itemize}
\item 1 - ciąg główny wieku zerowego (ZAMS)
\item 1-2  - ewolucja na c.g., spalanie wodoru w jądrze
\item 2 - kończy się wodór w jądrze (TAMS)
\item 2-3  - przebudowa
\item 3 - tworzy się gorąca warstwa wodoru wokół helowego jądra
\item 3-4 - palenie wodoru w warstwie wokół helowego jądra
\item 4-5 - wzrost promienia i obniżenie temperatury
\item 5-6 - ewolucja na gałęzi czerwonych olbrzymów RGB
\item 6 - błysk helowy, poczatek reakcji 3$\alpha$ 
\item 6-8 - kontrakcja, w warstwach zewnętrznych zanika konwekcja
\item 8-10 - intensywne palenie helu i wzrost promienia

\end{itemize}



W tabeli 2.8 zestawiono czas życia gwiazd o różnych masach. 
Gwiazdy małomasywne żyją nawet tysiące razy dłużej niż gwiazdy 
masywne. We wstępnym modelowaniu układów znajomość czasu życia składników
pomaga nam zorientować się w ogólnych własnościach układu i możliwych
rozwiązaniach.



\begin{table}[!h]
\caption{Porównanie czasu życia gwiazd o różnej masie.}

\begin{center}
\begin{tabular}{crc}
\hline
\hline
Masa $M_{\odot}$& Czas życia & Typ widmowy na c.g.\\
\hline

0.1        & 1000 mld. lat  & M2     \\
1          & 10 mld. lat    & G2     \\
1.5        & 3 mld. lat     & F5     \\
3          & 370 mil. lat   & A5     \\
10         & 32 mil. lat    & B4     \\

\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}


\subsubsection{Modele ewolucyjne} 

Z wynikow modelowania metodą WD otrzymujemy masy, promienie oraz temperatury
obu składników.
Porównanie tych wyników z modelami ewolucyjnymi jest podstawowym testem
poprawności otrzymanych rozwiązań. Poniżej omówimy modele ewolucyjne Kim et
al. 2002. Modele te dostępne są w postaci programu
interpolacyjnego. Dla zadanych mas, metaliczności $Z$ oraz parametru
$\alpha/Fe$ program interpoluje dane zawarte w plikach binarnych.  
Otrzymujemy informacje o promieniach, jasności i temperaturach w funkcji
czasu.

\begin{itemize}
\item Metaliczność $Z$ 
\item[--]Określa zawartość metali, X+Y+Z=1, gdzie X oznacza zawartość wodoru
a Y helu. Dla Słońca wartość Z=0.02.  
\item $[Fe/H]$
\item[--]Określa zawartość żelaza w stosunku do Słońca
($[Fe/H]_{\odot}=0$).\\
$[Fe/H]=log(Fe/H)_*-log(Fe/H)_{\odot}$
\item $[\alpha/Fe]$
\item[--]Określa stosunek liczby pierwiastków $\alpha$ do atomów żelaza w
stosunku do Słońca. Pierwiastkami $\alpha$ nazywamy wielokrotności He: (C,
O), Ne, Mg, Si, S, Ar.
%Pierwiastkami $\alpha$ nazywamy te o Z>22 wielokrotności He:
%Ne, Mg, Si, S, Ar.
Dla Słońca wartość $[\alpha/Fe]_{\odot}$=0.

\end{itemize}


\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{ageLogRTL.eps}
\caption{Zmiana jasności, temperatury oraz promienia dla gwiazdy o masie 1
$M_{\odot}$ i metaliczności Z=0.02. 
Jasność i promień są podane w jednostkach słonecznych.}
\end{center}
\end{figure}

\begin{table}[!h]
\caption{Zmiana podstawowych parametrów w trakcie ewolucji gwiazdy o masie
$1 M_{\odot}$ i metalicznosci Z=0.02.}

\begin{center}
\begin{tabular}{cccc}
\hline
\hline
Wiek mld. lat & Promień $R_{\odot}& Temperatura K  & Jasność $L_{\odot}$ \\
\hline
   0.025 &  1.028 &  5261 &  0.725 \\
   1.026 &  0.901 &  5626 &  0.728 \\
   2.306 &  0.929 &  5660 &  0.793 \\
   3.231 &  0.952 &  5681 &  0.846 \\
   4.125 &  0.978 &  5701 &  0.905 \\
   5.260 &  1.016 &  5719 &  0.990 \\
   6.066 &  1.048 &  5727 &  1.059 \\
   7.068 &  1.094 &  5729 &  1.156 \\
   8.151 &  1.153 &  5714 &  1.270 \\
   8.555 &  1.181 &  5707 &  1.326 \\
   9.082 &  1.225 &  5695 &  1.415 \\
   9.579 &  1.275 &  5680 &  1.517 \\
   10.188 &  1.351 &  5646 &  1.662 \\
   10.516 &  1.403 &  5616 &  1.754 \\
   11.063 &  1.522 &  5518 &  1.924 \\
   11.546 &  1.711 &  5271 &  2.025 \\
   12.002 &  2.401 &  4822 &  2.793 \\
   12.317 &  4.424 &  4695 &  8.524 \\
   12.501 &  11.19 &  4374 &  41.09 \\
   12.550 &  41.62 &  3789 &  319.9 \\
   12.556 &  72.67 &  3509 &  717.8 \\
   12.557 &  90.21 &  3397 &  970.9 \\
   12.558 &  104.9 &  3316 &  1192. \\
   12.559 &  126.4 &  3216 &  1531. \\
   12.561 &  174.9 &  3035 &  2326. \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}




\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{Zafe.eps}
\caption{Porównanie ciągów ewolucyjnych dla gwiazdy o masie $1 M_{\odot}$
dla różnej metaliczności i liczby pierwiastków $\alpha$.}
\end{center}
\end{figure}


\begin{table}[!h]
\caption{Wartości [$\alpha$/Fe] oraz [Fe/H] oparte na obserwacjach. Tabela
zawiera dane z pracy B. Barbuy (2003).}

\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\hline
\hline
[$\alpha$/Fe] & [Fe/H]\\
\hline

0.0        &      $\ge$ -0.1   \\
0.1        &     > -0.4~~ < -0.1    \\
0.2        &     > -0.7~~ < -0.4    \\
0.3        &     > -1.0~~ < -0.7    \\
0.4        &      < -1.0    \\

\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

W praktyce do porównania parametrów gwiazd z modelami ewolucyjnymi
wygodniej jest używać 
wykresu log(g)-log(T) zamiast log(L)-log(T). Pozwala to na rozseparowanie 
wpływu temperatury i promienia gwiazdy na obu osiach. Dzięki temu mamy
więcej informacji o przyczynach ewentualnej niezgodności modelu z ciągami
ewolucyjnymi.

Na kształt i położenie ciągu ewolucyjnego na wykresie HR mocno wpływa 
metaliczność. Zwiekszenie metaliczności na wykresie log(L)-log(T) przesuwa
ciąg w prawo do niższych temperatur. Na wykresie log(g)-log(T) zwiększona
metaliczność przesuwa wykres w prawo i w dół.
Znacznie mniejszy wpływ ma wartość parametru $\alpha/Fe$ (Rys. 2.19). 



\subsection{Ewolucja układu - transfer masy}

Modele niektórych układów podwójnych są na pierwszy rzut oka niezgodne z
teorią ewolucji. Możliwa jest sytuacja w której składnik lżejszy wypełnia
krytyczną powierzchnię Roche'a a składnik masywniejszy jest daleko poniżej
powierzchni krytycznej.
Efekt ten znany jest jako paradoks Algola. 
Taką sytuacje można wytłumaczyć wymianą mas miedzy składnikami w
przeszłości,
której skutkiem jest odwrócenie stosunku mas.
Ze względu na przyczyny które powodują wymianę masy, możemy podzielić układy 
na dwie grupy. W pierwszej wypełnienie powierzchni Roche'a jest spowodowane 
wzrostem promienia składnika masywniejszego w trakcie ewolucji, w drugiej 
wypełnienie powierzchni jest spowodowane zmianą odległości między
składnikami, co powoduje zmniejszenie krytycznej powierzchni Roche'a.
Przyczyną zmniejszania się odległości może być wspólna otoczka, pola
magnetyczne lub emisja fal grawitacyjnych w układach szybko rotujących.
Ze względu na sposób w jaki następuje wymiana masy układy możemy podzielić 
również na dwie grupy: z wymianą konserwatywną - w której układ nie traci
masy i z utratą masy a co za tym idzie także momentu pędu.
Duża różnorodność układów podwójnych i skomplikowana ewolucja poszczególnych
składników powoduję że otrzymujemy dużo scenariuszy ewolucji układu.
Początek jednak jest wspólny - wymiana masy rozpoczyna się wtedy kiedy
składnik o większej masie wypełni powierzchnie Roche'a.
W zależności od tego kiedy to nastąpi wyróżniamy trzy przypadki:

 
\begin{itemize}
\item[--] A \\
Składnik masywniejszy wypełnia powierzchnie Roche'a w trakcie ewolucji na
ciągu głównym kiedy spalany jest wodór w jądrze. Aby było to możliwe 
separacja składników musi być mała a okres rzędu kilku dni.   

\item[--] B \\
Składnik masywniejszy wypełnia powierzchnie Roche'a w trakcie ekspansji do 
fazy czerwonego olbrzyma. Okres układu musi być krótszy niż około 100 dni. 

\item[--] C \\
Dla okresów orbitalnych powyżej 100 dni główny składnik musi przejść w fazę
czerwonego nadolbrzyma aby wypełnić powierzchnie Roche'a. 
\end{itemize}

Rysunek 2.20 przedstawia te trzy przypadki nałożone na wykres zmian promienia    
składnika głównego. 

Kiedy składnik główny wypełni powierzchnię Roche'a materia zaczyna przelewać 
się przez punkt Lagrange'a $L_1$. Materia nie opada bezpośrednio na
składnik drugi, strumień jest wyginany w kierunku ruchu orbitalnego z powodu 
nadmiaru momentu pędu. Zazwyczaj materia ta tworzy dysk akrecyjny.
Miejsce, w którym strumień trafia w dysk nazywamy gorącą plamą.
Różnorodność układów podwójnych pociąga za sobą duże zróżnicowanie układów
wymieniających masę. Wymiana materii moze doprowadzić do wybuchu gwiazdy
supernowej.
Wynikiem ewolucji układów wymieniających materię mogą być stygnące białe karły, 
pojedyńcze lub podwójne pulsary a nawet czarne dziury.  
  	

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.55\textwidth]{ABC.eps}
\caption{Wykres zmian promienia skladnika głównego o masie $5 M_{\odot}$. 
Zaznaczono trzy możliwe momenty wypełnienia powierzchni Roche'a.
Rysunek ten ukazał sie w pracy Paczyńskiego (1971).}
\end{center}
\end{figure}



%Na rysunku 14 można obejżec kilka możliwych scenariuszu według Ibena i
%Tutukova (1984).  
%\begin{figure}
%\begin{center}
%\includegraphics[width=0.6\textwidth]{eb_evol.eps}
%\caption{Scenariusze ewolucji bliskich ukladów podwójnych. Linią punktowaną
%przedstawiona jest powierzhnia Roche'a a linia ciągłą faza w której gwiazda
%wypełnia tą powierzchnie. Pustym kółkiem oznaczone są gwiazdy, małym
%wypełnionym kółkiem oznaczone są zdegenerowane jądra olbrzymów (He, C-O,
%O-Ne). Małą gwiazdą oznaczono białe karły lub gwiazdy neutronowe, dużą
%oznaczono supernową typu Ia. Dużym kółkiem z radialnymi strzałkami oznaczono
%fazę wspólnej otoczki i utrate masy przez układ. strzałka falistą oznaczono
%proces skrócenia okresu (zmniejszenie powierzchni Roche'a) na skutek
%promieniowania grawitacyjnego. Elipsą oznaczono fazę masywnego dysku.}
%\end{center}
%\end{figure}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%--------------------------------------- OBS ---------------------------
\newpage

\section{Obserwacje spektroskopowe}

Krzywe blasku użyte w niniejszej rozprawie w przeważającej większości
pochodzą z literatury, n.p. z ASAS, Hipparcos i do opisu metodyki obserwacji 
odsyłamy czytelnika do prac orginalnych (Pojmański 1997; Perryman 1997). 
Natomiast większość obserwacji 
spektroskopowych autor wykonał sam. Kolejny rozdział poświęcony jest opisowi 
stosowanych metod obserwacji i redukcji.
 

\subsection{Obserwacje spektroskopowe gwiazd podwojnych \\
zaćmieniowych IO Aqr i BD-003357}

Obserwatorium astronomiczne w miejscowosci Rozhen znajduje sie na wysokosci
1750m n.p.m. Największym instrumentem jest teleskop 2m.
Teleskop działa w dwóch modach Ritchey-Chretien oraz Coud\'e.
W ognisku Coud\'e jest zainstalowany spektrograf.  Ognisko to znajduje sie
na piętrze poniżej poziomu teleskopu.
Ogniskowa teleskopu w tym
modzie  wynosi 72m a światłosiła 1:36. 
Przy tak długiej ogniskowej prowadzenie musi być bardzo dokładne. W trakcie
obserwacji obiekt zmienia swoją wysokość nad horyzontem, zmienia się
również refrakcja. Korekty położenia robi się ręcznie. 
Spektrograf zajmuje  dwa
pomieszczenia, w pierwszym znajdują sią komputery obsługujace kamerę CCD i
część
szczelinową spektrografu a w drugim część optyczna z siatką dyfrakcyjną i
kamerą CCD. W pierwszym pomieszczeniu znajdują się rownież podgląd pola o
rozmiarze 5' i podgląd  szczeliny z obiektem. Do kalibracji widm stosuje się
lampę torowo-argonową a do otrzymania obrazów płaskiego pola używa się
rozproszone swiatło z lampy jarzeniowej.
Część optyczna znajdująca się za siatką dyfrakcyjną i tworząca obraz na
matrycy CCD przypomina konstrukcyjnie kamerę Shmidta. Średnica lustra
sferycznego wynosi 1 metr (Rys. 2.21). 

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{coude.eps} 
\caption{Spektrograf Coud\'e}
\end{center}
\end{figure}


Początkowo otrzymywano widma na kliszy fotograficznej, obecnie stosuje się
kamerę CCD. Najsłabsze obiekty dostępne do obserwacji spektroskopowych mają
jasność 12$^m$. 
Widma zazwyczaj otrzymuje się parami.
Mamy wtedy kontrole uzyskanych wyników. Wykonuje sie rownież ramki zerowego
czasu naświetlania (BIAS), ramki płaskiego pola oraz widma porównania.

Obserwacje różnych obszarów widma realizuje się poprzez obracanie siatki
dyfrakcyjnej. Jeżeli widma dwóch rzędów nachodza na siebie, stosuje się
filtry  aby oddzielic  widmo obserwowane.
Matryca CCD ma rozmiar około 2cm co odpowiada fragmentowi widma około 200 \AA
~dla użytej siatki dyfrakcyjnej.




\subsection{Redukcja obserwacji spektroskopowych}

W latach 80-tych detektory CCD zdominowały obsewacje astronomiczne. Zastąpiły one
klisze fotograficzne i fotometry. Kamery CCD posiadają wysoką efektywność
kwantową (nawet ponad 80\%) oraz liniowość w dużym zakresie. Potrafią
również obserwować wiele obiektów jednocześnie w odróżnieniu od fotometrów.
Typowy zakres czułości detektorów CCD to 400-1000nm, a największa czułość w zakresie
600-800nm.  
Powoduje to że są one odpowiednimi
detektorami do obserwacji fotometrycznych i spektroskopowych.
Wadami ich są małe rozmiary, słaba czułość w zakresie UV,
niejednakowa czułość pikseli, szumy termiczne,
oraz szumy odczytu elektroniki.
Jesteśmy w stanie usunąć część tych niedoskonałości detektora 
wykonując dodatkowe obrazy kalibracyjne.

\begin{itemize}
\item[--] Ramka o zerowym czasie naświetlania (ZERO\footnote{ 
W pakiecie IRAF używa się nazw skrótowych ZERO, DARK, FLAT, COMP, OBJ. 
W niniejszej pracy korzystamy z tych oznaczeń.}, BIAS) \\
Nawet przy zerowym czasem naświetlania piksele posiadaja minimalny ładunek.
Ramki tego typu pokazują mapę niejednorodności punktu zerowego 
dla pikseli matrycy.


\item[--] Ramka prądu ciemnego (dark current) \\
Prąd ciemny jest spowodowany niezerową temperaturą matrycy CCD.
Dla ramek prądu ciemnego będziemy używać nazwy skrótowej DARK.
W każdym z pikseli w trakcie ekspozycji zbiera się dodatkowy ładunek.
Możemy go ocenić poprzez wykonanie ekspozycji przy zamkniętej migawce 
o czasie równym ekspozycji obiektu. Taką ramke możemy później odjąć od
obrazu naukowego. Czasami stosuje się też skalowanie DARKu o innych czasach
naświetlania, jednak nie mamy
pewności że prąd ciemny przyrasta liniowo. Musimy brać pod uwagę że prąd
ciemny zależy w dużym stopniu od temperatury matrycy.  
Dla wysokiej jakości kamer próżniowych chłodzonych ciekłym azotem prąd ciemny
jest zaniedbywalnie mały i można go pominąć nawet przy 20-30 minutowych
ekspozycjach. 

\item[--] Płaskie pole (Flat field) \\
Do każdego piksela matrycy CCD trafia światło o innej drodze optycznej.
Wszelkie zakłócenia na tej drodze (np. pył na matrycy) jak również
niejednakowe 
wzmocnienie poszczególnych pikseli powodują że potrzebujemy mapę czułości
naszego urządzenia pomiarowego. Taką mape możemy otrzymać przy pomocy  
płaskiego pola. 
Płaskie pole uzyskujemy kierując teleskop tuż po
zachodzie słońca na niebo ($90^{\circ}$ od Słońca). 
Alternatywnie można
zastosować jednorodnie oświetlony ekran wewnątrz kopuły.  

\end{itemize}


\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{CCD.eps}
\caption{Redukcja.}
\end{center}
\end{figure}






\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{ramki.eps} 
\caption{Typowe ramki wykonywane na spektrografie Coud\'e w NAO
Rozhen. Pierwsza od góry prezentuje ramkę zerowego czasu naświetlania,
wartości pikseli są w granicach 340-350 ADU. Kolejna ramka prezentuje 
płaskie pole, wartości pikseli 26000-28000 ADU. Widoczny jest efekt
pierścieni interferencyjnych.
Trzecia ramka przedstawia widmo porównania z lampy torowo-argonowej.
Środkowa część widma jest przesłonięta aby nie prześwietlać tej części matrycy
CCD na której będzie naświetlone widmo gwiazdy.  
Ostatnia ramka przedstawia widmo obiektu. Ciemne linie prostopadłe do
kierunku dyspersji to linie gwiazdowe a białe punkty to cząstki kosmiczne
które trafiły w matrycę w trakcie 20 minutowej ekspozycji.}
\end{center} 
\end{figure}


\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{echelle.eps}
\caption{Obrazy otrzymane spektrografem echelle w Borowcu, widmo obiektu (po lewej)
oraz widmo porównania. Na obu ramkach widać wyraźnie rzędy widma.
}
\end{center}
\end{figure}



\subsubsection{Redukcja obrazów dwuwymiarowych}
W pakiecie IRAF mamy zestaw programów do redukcji widm ze spektrografu
Coud\'e. Pakiet nazywa się KPNOCOUDE.
Ramki CCD z spektrografu Coud\'e zazwyczaj nie są optymalnie wykorzystane.
Widmo zajmuje tylko środkowy pasek obrazu. Aby przyspieszyć redukcję i 
zmniejszyć miejsce zajmowane przez ramki w pierwszej kolejności możemy obciąć
niepotrzebne obszary. Wszystkie ramki musimy obciąć w sposób identyczny.
Pierwszą redukcje którą przeprowadzimy to odjęcie poziomu zerowego (ZERO,
BIAS). Ramki tego typu wykonuje się w większej ilosci. Uśredniamy je
programem ZEROCOMBINE w którym ustawiamy parametr $combine$ na $average$.
Uśredniony obraz który otrzymujemy odejmujemy od reszty obrazów, oczywiście
automatycznie pomijane są obrazy typu ZERO.

Kolejna redukcja dotyczy tylko kamer które mają wysoki prąd ciemny. Kamera
stosowana na Rozhen posiada chłodzenie ciekłym azotem i pracuje przy
temperaturze $-100^{\circ}$C. Przy tej temperaturze prąd ciemny kamery jest zaniedbywalny. 
W sytuacjach, w których nie możemy zaniedbać prądu ciemnego musimy wykonywać ramki
typu DARK. Ramki te naświetla się przy zamkniętej migawce. 
Optymalny czas naświetlania
tych ramek powinien być równy czasowi naświetlania badanego obiektu. 
W przeciwnym razie musimy skalowac ramkę DARK a nie mamy pewności co do
liniowości przyrostu prądu ciemnego.
Obrazy dark zależą mocno od temperatury kamery. Jeżeli temperatura w trakcie
obserwacji zmienia się musimy częściej wykonywać ramki DARK.
Redukcja DARK polega na odjęciu tej ramki od obrazów naukowych (typu OBJ).  

Ramki płaskiego pola (FLAT) sumujemy przy użyciu programu FLATCOMBINE.
Otrzymujemy tak zwany $master flat$. Płaskie pole może mieć pewną pochyłość
którą usuwamy normalizując FLAT programem APNORMALIZE. Średnia wartość
ramki FLAT wynosi jeden. Redukcja polega na podzieleniu ramek OBJ przez FLAT.

\subsubsection{Sumowanie widma do jednego wymiaru.}

Po redukcji obrazów dwuwymiarowych musimy otrzymać widmo jednowymiarowe.
Kierunek dyspersji nie pokrywa się dokładnie z kierunkiem wierszy/kolumn 
matrycy CCD. Uwzględnia to program sumujący APALL. Pierwszy krok to
dopasowanie kierunku dyspersji (trace, Rys. 2.26) i określenie szerokości widma 
dopasowywanego (Rys. 2.25). Nie dopasowujemy linii prostej lecz
wielomian niskiego rzędu. Uwzględniając ten wielomian, sygnał z kolumn
prostopadłych do kierunku dyspersji zostaje posumowany.
W pliku konfiguracyjnym programu APALL ustawiamy parametry 
$weight=variance$ oraz $clean=yes$. Powoduje to odrzucenie odskakujących
pikseli w danej kolumnie. W ten sposób usuwamy również ślady cząstek
kośmicznych. 
Otrzymujemy widmo jednowymiarowe, na osi pionowej mamy sygnał ADU a na osi
poziomej numery pikseli.
Na rysunku 2.27 widać porównanie posumowanego widma, źle i poprawnie
zredukowanego.   


\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[angle=90,width=0.65\textwidth]{apall1.eps}
\caption{Poprzeczny do dyspersji przekrój widma. Okno programu APALL w
którym dobieramy szerokość sumowanego pasa. Pik po lewej to trafienie
cząstki kosmicznej.}
\end{center}
\end{figure}



\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[angle=90,width=0.65\textwidth]{apall2.eps}
\caption{Okno programu APALL w którym dopasowujemy kierunek dyspersji.}
\end{center}
\end{figure}


Sumowanie widm porównania wykonujemy analogicznie. Jednak nie wykonujemy
dopasowania kierunku dyspersji (trace) a korzystamy z już dopasowanego 
z widma objektu. Korzystamy z opcji $reference~spectrum$ oraz $trace=no$.
Każde widmo objektu powinno posiadać swoje posumowane widmo porównania.
Zgodny wielomian kierunku dyspersji widm OBJ i COMP pozwala nam po
identyfikacji linii w widmie porównania przenieść wielomian długości fali
(krzywa dyspersji) na 
widma obserwowanych obiektów. Zgodność tych wielomianów, 
jest bardzo ważna szczególnie jeżeli celem 
obróbki jest pomiar prędkości radialnych, zapewnia poprawną kalibracje w
długości fali. 


\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[angle=90,width=0.8\textwidth]{sgi3429.eps}
\caption{Porównanie widma bez redukcji FLAT i bez usunięcia 
cząstek kosmicznych (u góry) i widma prawidłowo zredukowanego. 
Można zauważyć że flatowanie pozwala nam usunąć efekt fringe który mocno zniekształca
posumowane widmo.}
\end{center}
\end{figure}



\subsubsection{Identyfikacja linii widma porównania.}

Widma porównania wykonujemy po to aby uzyskać informacje o długości fali 
jaka odpowiada każdemu pikselowi matrycy CCD. 
Używana jest do tego celu lampa, która daje w widmie
dużą liczbę linii emisyjnych na przykład lampa torowo argonowa.
Na podstawie katalogów, charakterystycznego położenia i natężenia grup linii 
możemy zidentyfikować te linie. Ich laboratoryjne długości fali są dobrze
znane. Korzystając z programu IDENTIFY zaznaczamy główne linie i wpisujemy 
ich laboratoryjne długości fali (Rys. 2.28). Następnie wykonujemy dopasowanie. 
Dopasowujemy 
wielomian niskiego rzędu - krzywą dyspersji. Ten wielomian daje nam mapę
dyspersji naszego widma porównania. W trakcie dopasowania możemy usunąć
punkty odstające.      
Po pierwszym dopasowaniu możemy zastosować identyfikacje automatyczną
korzystając z
odpowiedniego katalogu linii. 
Dążymy do tego aby mieć maksymalną liczbę linii lecz nie kosztem RMSu.

Po ostatecznym dopasowaniu krzywej dyspersji przenosimy ją na widmo obiektu
przy pomocy programu DISPCOR. W wyniku tego otrzymujemy widmo obiektu w
jednostkach ADU i długości fali.


\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[angle=90,width=0.8\textwidth]{identify.eps}
\caption{Okno programu IDENTIFY po identyfikacji linii lampy tor-argonowej.}
\end{center}
\end{figure}


\subsubsection{Kalibracja strumienia.}

Jeżeli chcemy wiedzieć jaki jest kształt kontinuum widma obiektu lub
jakie jest natężenie poszczególnych linii, musimy wykonać kalibrację
strumienia. Do pomiarów prędkości radialnych taka kalibracja nie jest
potrzebna. Kalibracja strumienia nie zmienia długości fali linii widmowych.
Światło pochodzące od obiektu przechodzi przez atmosfere ziemską, teleskop,
spektrograf i trafia na matryce CCD.
Pochłanianie na drodze promieniowania jest różne dla różnych częstotliwości
a matryca CCD ma największą czułość w zakresie 600-800nm.
Aby określić straty w różnych zakresach musimy obserwować oprócz obiektu
programowego
również gwiazdę, która jest standardem spektrofotometrycznym.
W pakiecie KPNOCOUDE proces kalibracji jest wykonywany w trzech krokach 
programami STANDART, SENSFUNC (Rys. 2.29) i CALIBRATE.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[angle=90,width=0.8\textwidth]{sensf.eps}
\caption{Funkcja czułości naszego detektora (teleskop, atmosfera) dla różnych długości
fali.}
\end{center}
\end{figure}


\subsubsection{Usuwanie wpływu atmosfery Ziemi}
    
Linie atmosfery ziemskiej zakłócaja pomiar prędkości radialnych.
Najprostszym sposobem na poradzenie sobie z tym problemem jest wybieranie
zakresów spektroskopowych gdzie brakuje silnych linii tellurycznych.
Z badanych zakresów w niniejszej pracy warunek ten spełniają
 okolice MgTri (5725 \AA) oraz Ca II (8575 \AA).
Jeśli używamy do pomiaru prędkości metody korelacji skrośnej (Rozdział 2.3.3) możemy poradzić 
sobie z liniami tellurycznymi dwoma sposobami. Jeżeli znamy
położenie tych linii możemy zaznaczyć obszary do korelacji omijając linie
telluryczne.
Kolejny sposób to dopasowanie trzeciego profilu do piku związanego z
atmosferą,
pierwsze dwa związane są ze składnikami układu. Pik atmosferyczny
identyfikujemy po tym że jego prędkość obserwowana wynosi zero, pik nie
przesuwa się w rożnych fazach ruchu orbitalnego układu (małe zmiany są 
możliwe na skutek efektu blendingu).
Jeżeli reszta sposobów zawodzi możemy sworzyć mapę linii tellurycznych 
w zakresie, który obserwujemy. Możemy to wykonać obserwując gorące szybko
rotujące gwiazdy typu O-B. Takie gwiazdy praktycznie nie posiadają 
własnych wąskich linii. Wszystkie wąskie linie w takim widmie pochodzą
od atmosfery Ziemi. 
Gwiazdę O-B musimy zaobserwować w bliskich do widma obiektu warunkach
(czas, ekspozycja, kierunek na sferze niebieskiej).
W pakiecie IRAF do usuwania linii atmosfery służy program TELLURIC.
Dzieli on widmo obiektu przez poprzednio przygotowaną mapę linii
atmosferycznych.

\subsubsection{Czym różni się redukcja widm echelle.}
Widma ze spektrografu typu Echelle zawierają wiele rzędów widma (Rys. 2.24).
Redukcja na poziomie BIASu jest identyczna z widmami Coud\'e.
Zazwyczaj spektrografy Echelle są wyposażone w kamery chłodzone ciekłym
azotem i redukcja prądu ciemnego jest zbędna.
Różnice pojawiają się na etapie przygotowania ramki $master flat$.

Kolejne kroki, sumowanie widma i identyfikacja różnią się przede wszystkim
tym że wykonywane sa wielokrotnie dla każdego rzędu z osobna. 
Korzystamy z pakietu Echelle (IRAF). Programem APALL sumujemy kolejno każdy
z  rzędów. Widma jednowymiarowe są wielowarstwowe, każda warstwa zawiera 
jeden rząd widma.
Identyfikacje linii w wszystkich rzędach widma odniesienia wykonujemy 
programem ECIDENTIFY.
 


  \begin{figure}
   \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{thedra.eps}
     \caption{Pomiary prędkości radialnych 
dla $\theta$~Draconis, układ typu SB1. 
Obserwacje wykonano na 40cm teleskopie Newtona w Borowcu.
Krzywa prędkości wykreślona na podstawie 
parametrów układu z literatury Mazeh et al. 2002. Analize widm wykonał 
R. Ratajczak wspólnie z autorem niniejszej pracy.}
      \end{figure}

Po identyfikacji widma porównania i przeniesienia wielomianu dyspersji na 
widmo obiektu możemy złożyć wszystkie rzędy widma do jednego ciągu.
W przypadku widma z Borowca otrzymujemy zakres od 5000\AA~ do 8400\AA.
W trakcie prac nad testowaniem spektrografu sporządziłem atlas 44 rzędów widma
torowo argonowej lampy porównania. Wykonałem równierz serie testów do oceny 
stabilności otrzymywanych wynikow oraz oceny jakości pomiarów prędkości
radialnych (Tab. 2.11, 2.12, 2.13). 	


\begin{table}
\caption{Korelacja skrośna poszczególnych rzedów dla dwóch widm porównania.
Czas pomiedzy expozycjami ~3h. Widma wykonano 13.VI.2003, 1
piksel=0.2\AA (8.5$km~s^{-1}$).}

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc|ccc}
\hline
\hline
rząd &  przesunięcie & błąd &rząd &   przesunięcie & błąd  \\
widma&  piksele      &      &widma&   piksele      & piksele\\
\hline
   3  & 0.035 &  1.58 &  26 & 0.010 &  0.01  \\
   8  & 0.023 &  1.51 &  30 & 0.083 &  2.59  \\
   12 & 0.029 &  1.63 &  35 & -0.014&  2.24  \\
   16 & 0.031 &  1.73 &  40 & -0.018&  1.43  \\
   20 & 0.014 &  1.33 & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}



\begin{table}[!]
\caption{Pomiary dla jednego z widm $\theta$~Draconis
dwoma metodami dla niektórych rzędów. Rzędy 30 i 31 
odskakują ponieważ tam przeważają linie atmosfery ziemskiej.}

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\hline
\hline
rząd widma&  $V_h$~ km/s & błąd~ km/s \\
\hline
pomiar RVIDLINES\\
tryplet Mg  &   4.36 & 1.9 \\
dublet Na   &   3.19 & 2.48 \\
\\
pomiar FXCOR\\
    3  & 3.44 &2.52 \\ 
    8  & 3.59 &2.18 \\
    16 & 3.70 &1.72 \\
    20 & 3.22 &3.43 \\
    30 & 8.74 &0.33 \\
    31 & 8.26 &0.70 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}



\begin{table}
\caption{Korelacja skrośna dwóch widm $\alpha$~Bootis wykonanych jedno po
drugim.} 

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\hline
\hline
rząd &  $\Delta V$ & błąd   \\
widma&     km/s    & km/s       \\
\hline
1  &0.026  & 0.117  \\
5  &-0.053 & 0.136  \\
10 &-0.072 & 0.139  \\
15 &0.069  & 0.136  \\
20 &-0.001 & 0.147  \\
25 &-0.122 & 0.175  \\
30 &0.108  & 0.127  \\
35 &0.157  & 0.201  \\
40 &0.257  & 0.253  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}








%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\subsection{Pomiar prędkości radialnych}

Linie widmowe, które powstaja w gwiazdach tworzą charakterystyczne grupy lub
mają rozpoznawalny profil. Dzięki temu jesteśmy w stanie zidentyfikować te
linie nawet jeżeli na skutek efektu Dopplera są przesunięte w długości fali.
Właśnie to przesunięcie informuje nas o prędkości radialnej obiektu względem
obserwatora. Najbardziej intuicyjnym sposobem mierzenia tego przesunięcia
jest pomiar długości fali danej zidentyfikowanej linii w widmie obiektu, 
na przykład przez
dopasowanie profilu Gaussa, znalezienie środka linii i porównanie
wyniku z laboratoryjną długością fali. Otrzymujemy
różnice długości fal $\Delta \lambda$. Związek z prędkością radialną jest
następujący $\Delta \lambda / \lambda = Vr/c$.
Im więcej linii jesteśmy w stanie zidentyfikować w widmie obiektu tym
dokładniejszy staje się nasz pomiar.
Program RVIDLINES z pakietu IRAF korzysta z tej metody pomiaru
przesunięcia linii widmowych.
Praca z programem wygląda następująco. Po wybraniu widma, które chcemy
pomierzyć zostaje ono wyświetlone. Zaznaczamy znane nam linie i wprowadzamy
ich laboratoryjne długości fali. Kolejnym krokiem jest dopasowanie profili
Gaussa i
wyznaczenie prędkości radialnej.
Aby program działał poprawnie musimy wprowadzić niektóre informacje
dotyczące 
linii widmowych: typ linii (emisyjna, absorpcyjna) i typową szerokość
połówkową linii.
Mamy do dyspozycji dwie możliwości określenia środków linii: dopasowanie
profilu Gaussa lub algorytm $centr1d$. 
Algorytm dopasowujący profil Gaussa określa kontinuum i dopasowuje parametry
profilu nie liniowym algorytmem Levenberg-Marquardt. Otrzymujemy długość
fali środka linii, głębokość linii i niepewność pomiaru.
Algorytm $centr1d$ korzysta z bisekcji strumienia aby wyznaczyć środek linii.
Po zidentyfikowaniu kilku linii program umożliwia automatyczną identyfikacje
na podstawie katalogu.

Dla gwiazd podwójnych typu SB2 linie są rozszczepione i często nakładają
(blendują) się zwłaszcza w fazach o małych prędkościach radialnych.
Program RVIDLINES pozwala na ,,odzyskanie'' informacji o przesunięciach 
linii dla obu składników. Proces deblendingu jest wykonywany poprzez
dopasowanie dwóch profili Gaussa do obu skladowych linii. Otrzymujemy dwa
środki linii czyli prędkości dla obu składników. 

Do modelowania układów podwójnych potrzebujemy informacji o czasie
obserwacji i prędkości w heliocentrycznym układzie odniesienia.
Ruch obserwatora wraz z Ziemią po orbicie może zakłócić pomiar czasu o 8 min a pomiar 
prędkośći aż o 30 km/s. Na skutek ruchu orbitalnego obserwator na Ziemi
zbliża się i oddala od obiektu co powoduje że uklad topocentryczny musimy
zastąpić heliocentrycznym. Prędkość heliocentryczna wynosi $V_h=V_{obs}+H$, 
gdzie $H$ to poprawka heliocentryczna, która równa jest prędkości obserwatora
względem Słońca.
Aby program RVIDLINES mógł przeliczyć wyznaczoną prędkość radialną do układu
heliocentrycznego musi dysponować informacją o współrzędnych obiektu,
współrzędnych obserwatorium, epoce i momencie obserwacji. 
Te informacje powinny być zawarte w nagłówku pliku zawierającego widmo
(*.fit, *.imh). Muszą być one opisane odpowiednimi słowami
kluczowymi, które są zgodne z standardem pakietu IRAF. 

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[angle=90,width=0.7\textwidth]{sgi20440.eps}
\caption{Okno programu RVIDLINES po dopasowaniu dwóch profili Gaussa do
rozszczepionej linii wapnia układu zaćmieniowego DV Boo.}
\end{center}
\end{figure}  

Metoda pomiaru prędkości radialnych na podstawie wyznaczenia przesunięć
poszczególnych linii ma kilka wad. Nie zawsze jesteśmy w stanie
zidentyfikować daną linie. Może to być spowodowane zaszumieniem widma lub 
nakładaniem sie linii zwłaszcza przy gwiazdach podwójnych.
Kolejną wadą jest to że nie korzystamy z całego widma a tylko ze znanych nam
linii. 

Kolejną metodą pozwalającą nam wyznaczać prędkości radialne to metoda
korelacji skrośnej. Polega ona na przesuwaniu widma obiektu względem widma
odniesienia (template) i badaniu przebiegu korelacji. Korelacja jest maksymalna wtedy
kiedy linie w obu widmach pokrywają sie. Dzięki temu wiemy jakie jest
przesunięcie linii obiektu względem widma odniesienia.
Przykładem programu korzystającego z tej metody to FXCOR (IRAF).
Dla gwiazdy pojedyńczej dostajemy przebieg korelacji o jednym wyraźnym piku
odpowiadającym prędkości gwiazdy. Dla układu podwójnego otrzymujemy przebieg
z dwoma maksimami odpowiadającymi dwom składnikom.
Widmem odniesienia może być
widmo gwiazdy standardu o znanej prędkości lub widmo syntetyczne.
Dla obiektów zmiennych można użyć jako template widma obiektu w innej fazie.
Na przykład dla układów podwójnych możemy użyc widma w fazie 0 lub 0.5 kiedy
prędkości radialne są minimalne.
Typ widmowy badanego obiektu i widma odniesienia muszą być zgodne.
Aby wyznaczyć położenie maksimum korelacji możemy dopasować profil Gaussa,
Lorentza lub skorzystać z algorytmów $centr1d$ i $sinc$.
W przypadku gwiazdy podwójnej musimy dopasować dwa profile. Program pozwala
na dopasowanie maksymalnie czterech profili. 
Podczas dopasowania więcej niż jednego piku
pojawia się problem nakładania
się garbów podobnie jak w programie RVIDLINES.
Przy wykonywaniu pomiaru, dla większej niż jeden liczby maksimów, program 
automatycznie wykonuje deblending.


\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[angle=90,width=0.7\textwidth]{sgi28180.eps}
\caption{Okno programu RVIDLINES po dopasowaniu dwóch profili Gaussa do
rozszczepionej linii wapnia układu zaćmieniowego DV Boo.}
\end{center}
\end{figure}




Przy pomiarach prędkości dla gwiazd podwójnych główny problem jaki może się 
pojawic to niewystarczające rozdzielenie maksimów funkcji korelacji.
Przyczyną tego może być zbyt mała separacja linii widmowych obu składników
lub zaszumienie widm. W pierwszym przypadku możemy wykonać widma w
innym zakresie długości fal lub skorzystać ze spektrografu o lepszej
rozdzielczości.
W przypadku zaszumienia możemy wydłużyć ekspozycje wykonywanych widm lub
zastosować filtracje fourierowską, która jest dostępna w programie FXCOR.
W oknie opcji filtracji widzimy widmo mocy dla korelowanych widm i możemy
wybrać częstotliwość odcięcia. Częstotliwości wyższe będą usuwane. 
Pozwala to nam w pewnym stopniu usunąć szum (wysokie częstotliwości).
Zastosowanie filtracji wygładza widma.
Kolejny kłopot jaki możemy napotkać to linie atmosfery ziemskiej (linie
teluryczne). Jeżeli wykonamy widmo obiektu i porównania w zakresie w którym
są obecne linie teluryczne po korelacji skrośnej otrzymamy dodatkowy pik
odpowiadający ziemskiej atmosferze. 
Jeżeli wykonujemy korelacje skrośną z gwiazdą porównania pik pochodzący od
atmosfery ziemskiej będzie miał prędkość obserwowaną $V_{obs}=0$, ponieważ
prędkość obswerwowana linii tellurycznych wynosi zawsze zero 
względem obserwatora :).
Wysokość tego piku zależy od liczby
linii i od ich natężenia. 
Jeżeli na przykład mamy tylo jedną taką linie lub obszar linii w widmie 
możemy skorzystać z możliwości wyboru obszarów widma do korelacji dostępnej w
programie FXCOR. Dzięki temu w korelacji nie biorą udział obszary
niepożądane.
Dla widm o dużych zakresach długości fal na przykład typu echelle możemy
stworzyć plik, zawierający wszystkie obszary długości fal które chcemy
korelować, z którego skorzysta FXCOR.  
Jeżeli linii telurycznych jest więcej i są rozsiane na całej długości widma
musimy zastosować inną metodę. 
Alternatywą jest RVIDLINES którym można
pomierzyć tylko te linie, które nas interesują. Możemy również wyczyścić
nasze widmo z linii atmosfery ziemskiej tworząc mape ich położenia i
natężenia. Aby uzyskać taką mape musimy wykonać dodatkowe widma kalibracyjne 
gwiazd które praktycznie nie zawierają wąskich linii. Takimi gwiazdami są
szybkorotujące niebieskie olbrzymy typu O-B. W widmie takiej gwiazdy widać
praktycznie tylko linie atmosfery ziemskiej ponieważ linie gwiazdy są zbyt
słabe i poszerzone. Widmo musi być wykonane bezpośrednio po lub przed ekspozycją 
badanego obiektu i najlepiej w kierunku bliskim do obiektu na sferze
niebieskiej. W pakiecie IRAF do tego celu używa się programu TELLURIC.

Kształt maksimów CCF (Cross Correlation Function - funkcja korelacji
skrośnej) odzwierciedla średni profil linii widmowych,
dlatego linie szerokie o dużych skrzydłach dają szerokie maksima w CCF.
Sprawia to problem
dla widm układów podwójnych ponieważ szerokie piki CCF blendują się.
Aby dostać wiarygodne wyniki piki CCF muszą być wyraźnie rozdzielone.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[angle=90,width=0.7\textwidth]{sgi28201.eps}
\caption{Okno programu FXCOR pokazujące widma przygotowane do kroskorelacji.}
\end{center}
\end{figure}


Najlepsze wyniki otrzymujemy dla wąskich i głębokich linii widmowych.
Zanim wykonana zostanie korelacja skrośna, widma muszą zostać do tego
przygotowane. Program FXCOR wykonuje to automatycznie. Pochylenie lub
zakrzywienie widma jest usuwane poprzez dopasowanie wielomianu.     
Kolejnym krokiem jest unormowanie kontinuum do zera i wyskalowanie widm tak
aby była najlepsza zgodność głębokości linii. Brzegi widm są stopniowo
wygładzane do zera (Rys. 2.32). W ten sposób pozbywamy się efektów brzegowych
w trakcie kroskorelacji.
Ta ostatnia procedura może spowodować problemy, czasami ważne linie znajdują
się na brzegach widma. Na rysunku 2.32 widać że linie na brzegu są
przeskalowane (są zbyt płytkie). Z problemem tym można częściowo sobie poradzić używając
widma porównania o tej samej długości (brzegi będą skalowane w ten sam
sposób), lub (lepiej) dobrać zakres widm tak aby, ważne linie były w środkowej części
widma.

W niniejszej pracy użyto programów RVIDLINES i FXCOR. Ostatnio używa się
równierz innych programów, które jednak nie są zaimplementowane w pakiecie
IRAF. 

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{bf_vs_ccf.eps}
\caption{Porównanie BF oraz CCF. }
\end{center}
\end{figure}

Metoda BF (broadening function) autorstwa prof. S. Rucińskiego jest jedną z 
alternatyw (Rucinski 2004). Metoda BF jest liniową dekonwolucją. W stosunku do CCF daje
lepsze rozseparowanie maksimów. Program jest dostępny jako procedury IDL
autorstwa S. Rucińskiego oraz jako program dla systemu operacyjnego Windows
autorstwa B. Nelsona.  
Na rysunku 2.34 zostały porównane funkcje BF i CCF dla 
układu podwójnego V523 Cas oraz gwiazdy porównania HD3765. Wykres BF
uzyskano prgramem B. Nelsona a CCF programem FXCOR.

Program TODCOR jest kolejną alternatywą. Nazwa pochodzi z angielskiego
\emph{TwO Dimensional cross CORellation} - dwu wymiarowa korelacja skrośna
(Zucker 2004).
Program jest przeznaczony do pomiarów prędkości radialnych układów
podwójnych. W zwyczajnej korelacji skrośnej porównujemy widmo obiektu z widmem
gwiazdy standardu. W programie TODCOR korelujemy widmo obiektu z widmem
które jest sumą dwóch widm odniesienia (template). Symuluje sie w ten sposob
widmo układu w różnych fazach jego ruchu
orbitalnego. Wykonywana jest seria korelacji skrośnych dla różnych przesunięć
widm składowych naszego widma odniesienia.   
Najlepsza z serii korelacja skrośna (najwyższy pik) świadczy o tym że mamy
najlepszy template, któremu odpowiada konkretne przesunięcie między
składnikiem 1 i 2. Do analizy TODCOR wymaga trzech widm. Pierwsze to 
widmo  obiektu a kolejne dwa to składowe naszego widma porównania.
Widma te powinny odpowiadać typom widmowym obu składników
układu.           




%----------------------------- WYNIKI ---------------------------------
\chapter{Wyniki naukowe}



\section{DV Bootis}

Analiza układu DV Bootis służy sprawdzeniu użytych metod pomiaru prędkości
radialnych oraz modelowania układów zaćmieniowych. Otrzymane wyniki dopasowań
porównano z wynikami z literatury. 

Układ DV Boo był obserwowany przez satelitę Hipparcos. 
Paralaksa trygonometrycza (Hipparcos) układu wynośi $7.38\pm0.92$ mas.
Oznacza to że układ znajduje się w małej odległości, równej $136\pm17$ parseków.  
Jasność widoma układu to $7^m.54$ a wskaźnik barwy B-V=0.34.
Pierwsze obserwacje spektroskopowe uzyskali Carquilat et al. (2004).
Obserwacje wykonano w obserwatorium w Haute-Provance (OHP) na 1m teleskopie
oraz w Cambridge Observatory na teleskopie o średnicy 91cm. Aby zarejestrować drugi
składnik wykonano również obserwacje na 1.93m teleskopie (OHP).
Wyniki, które uzyskał ten zespół są wysokiej jakości, średni błąd kwadratowy
dla obu składników  wynosi mniej niż 1 km/s.
Na podstawie tych wyników oraz fotometrii z Hipparcosa autorzy wyznaczyli
model układu korzystając z dwóch programów WD oraz EBOP.
W niniejszej pracy wykorzystano ich wyniki z literatury aby sprawdzić własne
pomiary prędkości radialnych oraz wyniki całego  procesu modelowania. 
W pierwszej części zadanie okazało się trudne ze względu na znacznie słabsze
linie drugiego skladnika. Widać z porównania że spektrograf typu CORAVEL
daje znacznie lepsze wyniki niż pomiar spektrografem Coud\'e.  
Porównanie modelu z literatury oraz modeli otrzymanych przez autora niniejszej
pracy programami VELFIT, PHOEBE oraz MINGA pokazało dobrą zgodność.

\subsection{Obserwacje spektroskopowe}

Nowe obserwacje spektroskopowe zostały wykonane przez zespół I. Iliev oraz 
T. Tomov na 2m teleskopie NAO Rozhen.
Autor niniejszej pracy wykonał część redukcji oraz pomiar prędkości
radialnych dwoma metodami.
Do pomiaru prędkości radialnych użyto programów FXCOR oraz RVIDLINES z
pakietu IRAF. W obu sytuacjach napotkano problemy spowodowane słabymi
liniami drugiego składnika.
Jako widmo odniesienia do korelacji skrośnej użyto widmo syntetyczne (Rys. 3.2).
Testowano syntetyczne widma dla temperatur 6500K oraz 7250K (log(g)=4.0). Lepsze wyniki
korelacji uzyskano dla 7250K.
Funkcja korelacji skrośnej wykazuje dwa maksima, pierwsze wysokie związane z
pierwszym składnikiem oraz drugie słabo rozdzielone od piku głównego (Rys.
3.3).
Utrudniło to pomiar dla składnika drugiego. 

  


  \begin{figure}
   \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{sgi4384a.eps}
     \caption{Widmo DV Boo w fazie zero porównane z widmem syntetycznym}
      \end{figure}

  \begin{figure}
   \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{sgi20607a.eps}
     \caption{Wynik korelacji skrośnej widma DV Boo i widma syntetycznego.
Widać główne maksimum oraz słabo rozdzielony garb składnika drugiego.}
      \end{figure}

  \begin{figure}
   \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{fx-rvid1.eps}
     \caption{Wyniki pomiarów prędkości radialnych dla DV Boo, linia ciągła
prezentuje dopasowanie do wyników pomiaru metodą korelacji skrośnej.}
      \end{figure}




  
\begin{table}[!h]
\caption{Porównanie własnych wyników pomiarów widm z Rozhen metodą korelacji
skrośnej,
pomiaru poszczególnych linii (RVIDLINES, 3 linie wapnia) oraz rezultatów
Carquilat, 2004.}

\begin{center}
\begin{tabular}{cccc}
\hline
\hline
& FXCOR & RVIDLINES   & Carquilat \\
\hline

$A[R_{\odot}]$         & 14.05  & 14.19    & 14.50   \\
$q$         & 0.771  & 0.775    & 0.748  \\
$V_{\gamma}~[km~s^{-1}]$& -28.5  & -30.5    & -28.4  \\


\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
 



W tabeli 3.1 porównano wyniki korelacji, pomiaru linii oraz wyników z
literatury. Największą różnicę mamy dla półosi wielkiej. Wartość otrzymana
na podstawie widm z Rozhen jest niższa. Przyczyna tej różnicy to wyżej omówione 
problemy z pomiarem linii składnika drugiego. Te problemy poskutkowały zbyt
małą wartością zmierzonej amplitudy zmian prędkośći radialnych dla składnika
drugiego, co spowodowało mniejszą wartość wyznaczonej półosi
wielkiej.
Dodatkowo mamy niekompletną krzywą, brakuje obserwacji w fazie 0.25.   





\subsection{Test poprawności procesu modelowania}


Aby sprawdzić poprawność procesu modelowania powtórzono obliczenia 
Carquillata (2004) korzystając z tych samych danych wejściowych.
Do modelowania użyto obserwacji fotometrycznych z Hipparcosa oraz 
widm wykonanych spektrografem CORAVEL na 1m teleskopie w obserwatorium 
Haute-Provance, Carquilat (2004). Pomiary prędkości radialnych są wysokiej jakości,
średni błąd kwadratowy dla obu krzywych wynosi $\sigma_1=0.92km~s^{-1}$
oraz $\sigma_2=0.49km~s^{-1}$. 
Przy użyciu programu MINGA i PHOEBE znaleziono minimuma w bliskim otoczeniu wyników
Carquillata. W tabeli 3.2 zestawiono wyniki czterech dopasowań. We
wszystkich
dopasowaniach przyjeto temperaturę pierwszego składnika odpowiadająca
wskaźnikowi barwy układu $B-V=0.34$.
Model uzyskany przez Carquillata wyznaczono przy pomocy programów Wilsona
oraz EBOP, wyniki z obu programów uśredniono. 
Niestety autorzy nie podali w jaki sposób szacowali błędy swojego
rozwiązania - prawdopodobnie są to po prostu różnice obu modeli.



\begin{table}[!h]
\caption{Porównanie wyników trzech programow oraz pracy Carquilata.
Wszystkie wyniki bazują na tych samych danych: fotometria z Hipparcosa oraz
prędkości radialne - Carquilat et al. 2004. 
Model Carquilata uzyskano dwoma programami EBOP oraz WD, wyniki uśredniono. 
}


\begin{center}
\begin{tabular}{ccccc}
\hline
\hline
Parametr &VELFIT                & PHOEBE &MINGA& Carquilat \\
         &dopasowanie sinusoid  &        &     & EBOP, WD  \\  
\hline

$i$      & & $82.75\pm0.16$  & $82.64\pm0.65$   & $82.7\pm0.3$    \\
$q$      &$0.748\pm0.002$ & $0.748\pm0.002$ & $0.748\pm0.015$ & $0.75\pm0.02 $           \\
$a($R$_{\odot})$&$14.49\pm 0.02$ &   $14.50\pm 0.01$ &   $14.51\pm 0.14$     & $14.49\pm 0.01$ \\
$V_{\gamma}$    &$-28.6\pm 0.2$  &   $-28.5\pm 0.1$ &   $-28.5\pm 0.7$      &-28.4\pm0.1  \\
&&\\
$T_1$    & &  $7370 K       $ &  $7370 K   $              & $ 7370 K$        \\
$T_2$    & &  $6560 \pm 40 K$ &  $6315 \pm 60 K$          & $ 6410\pm 150 K$\\
$M_1$    &1.64\pm0.005&  $ 1.64\pm0.006 $ &  $ 1.64\pm0.06 $ & $ 1.64\pm 0.02 $ \\
$M_2$    &1.23\pm0.005&  $ 1.23\pm0.005 $ &  $ 1.23\pm0.05 $ & $ 1.23\pm 0.02 $ \\
$R_1$   &&  $ 1.93\pm0.03 $ &  $ 1.96\pm0.22 $ & $ 1.94\pm 0.03 $ \\
$R_2$   &&  $ 1.37\pm0.02 $ &  $ 1.39\pm0.14 $ & $ 1.39\pm 0.04 $ \\
&&&&\\
$\Omega_{\mathrm{1}}$& & 8.29     $\pm$ 0.13 & 8.19     $\pm$ 0.84   &  \\
$\Omega_{\mathrm{2}}$& & 9.06     $\pm$ 0.13 & 8.94     $\pm$ 0.95   &  \\
$l_{\mathrm{1}}$     & & 0.773 $\pm$ 0.006 & 0.776 $\pm$ 0.009  &\\
$l_{\mathrm{2}}$     & & 0.227 $\pm$ 0.006 & 0.224 $\pm$ 0.009  &\\
$x_{\mathrm{12}}$ & & 0.53, 0.54 & 0.53, 0.54 & \\
$g_{\mathrm{12}}$ & & 0.32, 0.32  & 0.32, 0.32   &    \\
$A_{\mathrm{12}}$ & & 0.5, 0.5   & 0.5, 0.5   &    \\


\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!h]
\caption{Niezależne szacunki błędów metodą Monte Carlo oraz metodą opartą na 
$\chi^2$}

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\hline
\hline
Parametr & Monte Carlo          & Metoda $\chi^2$  \\
\hline

$i$                  & 0.20 & 0.16 \\
$\Omega_{\mathrm{1}}$& 0.20&  0.17\\
$\Omega_{\mathrm{2}}$& 0.16& 0.21\\
$l_{\mathrm{1}}$     & 0.0004& 0.047 \\
$l_{\mathrm{2}}$     & 0.0004& 0.036\\

\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}


Wyniki trzech programów (MINGA, PHOEBE oraz VELFIT) są w bardzo dobrej
zgodzie z pracą Carquilata. Jednak szacunki błędów dla niektórych parametrów 
różnią się znacznie.  Aby porównać te szacunki z niezależnymi metodami 
wykonano dwa testy (Tab. 3.3).
Zastosowano metodę Monte Carlo. Programem PHOEBE wygenerowano 15
syntetycznych krzywych o rozrzucie identycznym z oryginalnymi danymi z
Hipparcosa. Programem MINGA wykonano 15 dopasowań a błąd wyznaczono jako 
odchylenie standardowe dla 15 wartości, każdego z dopasowywanych 5 parametrów.      

Kolejna metoda jest oparta na $\chi^2$. Polega ona na ustaleniu wartości
danego parametru i dopasowania pozostałych.
Następnie szukamy takiego przedziału wyjściowego parametru, który daje
wzrost
$\chi^2$ po dopasoaniu o 1. Innymi słowy przedziały blędów to szerokości
rzutu elipsoidy błędu $\chi^2<\chi^2_{min+1}$ na oś danego parametru.

Program zwraca $\chi^2$ zredukowane, $\chi^2/(n-m)$, gdzie gdzie $n$ jest liczbą
obserwacji a $m$ to liczba parametrów dopasowywanych. Na tej podstawie
wyznaczamy rzeczywiste, nie zredukowane $\chi^2$ potrzebne do
powyższej procedury.

Oba testy wykazują dobrą zgodność dla nachylenia $i$ oraz potencjałów
$\Omega_{\mathrm{1,2}}$, lecz różnią się znacznie dla dla jasności
$l_{\mathrm{1,2}}$.  
Wytłumaczenie tej różnicy może być następujące: metoda $\chi^2$
pokazuje wpływ korelacji między parametrami,    
t.j. wydłużenie elips błędów, natomiast MC je ignoruje, dajac jedynie
przeciecie
osi przez elipsoide błędów.

%*****************



%Tekst poprawek do str. 71

%warto~\ci

%i dopasowania pozostałych

%Następnie szukamy takiego przedziału wyj~\ciowego parametru który daje
%wzrost
%chi2 po dopasoaniu o 1. Innymi slowy przedzialy bledow to szerokosci
%rzutu elipsoidy błędu chi2<chi2_min+1 na o~\ danego parametru.

%Program zwraca chi2 zredukowane, chi2/(n-m), gdzie

%na tej podstawie wyznaczamy rzeczywiste, nie zredukowane chi2 potrzebne do
%powyższej procedury.


%t.j. wydłużenie elips błędów, natomiast MC je ignoruje, dajac jedynie
%5przeciecie
%osi przez elipsoide błędów.





%*****************

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{dvlc.eps}
\caption{Krzywa zmian blasku oraz dopasowany model (PHOEBE).}
\end{center}
\end{figure}


\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{dvrv.eps}
\caption{Obserwacje spektroskopowe (Carquilat) oraz model otrzymany przy
pomocy programu PHOEBE.}
\end{center}
\end{figure}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\section{BD-00~3357}


Kolejny obiekt wybrany do badań to układ zaćmieniowy oznaczony w katalogu
ASAS numerem 174619-0018.7.  Krzywa blasku wskazuje na to iż układ ten może
być rozdzielonym układem podwójnym. Obiekt został zidentyfikowany po
współrzędnych jako BD-003357 oraz Tycho TYC-5082-1517-1.
W dotychczasowej literaturze nie ma informacji o podwójności tej gwiazdy. W bazie
danych Simbad obiekt jest sklasyfikowany jako gwiazda typu A2. Współrzędne
gwiazdy z katalogu FK5 (J 2000.0) to rektascencja $\alpha=17^h 46^m 19^s.42$ i deklinacja
$\delta=-00^{\circ}$ 18' 38".1.

Z obserwacji ASAS dysponujemy krzywymi blasku w filtrach $I$ oraz $V$.
Obiekt jest stosunkowo słaby około 10 wielkości gwiazdowej i co za tym idzie
dane z literatury są niepełne i często niespójne. Krzywa blasku otrzymana
przez ASAS świadczy o częściowych zaćmieniach.
Głębokości zaćmień pierwotnego i wtórnego różnią się wyraźnie.
Amplituda zmian wynosi $0^m.17$ a okres 1.4 doby.

Katalog PPM, a za nim Simbad, podaje typ widmowy układu A2 jednak ta wartość jest niezgodna ze
wskaźnikiem barwy gwiazdy. Katalog Tycho 2 podaje wielkość gwiazdową w
filtrze V równą $9^m.99\pm0.04$ oraz wskaźnik barwy $B-V=0.42\pm0.06$, któremu
odpowiada typ widmowy F4 i temperatura około 6700K. 
Dotąd brak było w literaturze pomiarów prędkości radialnych.


\subsection{Spektroskopia}

W celu analizy układu podjęto obserwacje spektroskopowe w NAO
Rozhen na teleskopie 2m i spektrografie Coud\'e. 
Pierwsze obserwacje zostały wykonane w zakresach
widmowych $H_{\alpha}$ i NaD. Ze względu
na mniejszą liczbę linii ziemskiej atmosfery które zakłócają pomiar oraz
większą liczbę linii od gwiazdy, kolejne obserwacje wykonano w MgTri (5175\AA)
Większość obserwacji zostało wykonane w NAO Rozhen przez autora niniejszej pracy 
i D. Koleva. Część obserwacji wykonał w Kanadzie (DDO) P. Ligęza na
1.9m teleskopie/spektrografie Cassegraina.  

Pierwsze widma w zakresie $H_{\alpha}$ pokazały linie od dwóch składników o różnej
głębokości (Rys 3.6). Dwa widma z tego zakresu wykonane jedno po drugim zawierały również
trzecią linie, jednak ewentualna obecność trzeciego ciała nie została
potwierdzona w innych obserwacjach.
Czasy naświetlania widm wynoszą 20 minut. Dyspersja dla widm z NAO była
równa 0.2\AA/pix a dla DDO - 0.16\AA/pix.

 
Średni błąd kwadratowy obserwacji z tabeli 3.4 wynosi 5.6 km/s dla składnika
pierwszego i 5.2 km/s dla drugiego. Dla niektórych widm z pierwszych
obserwacji
blending i zaszumienie linii nie pozwolił na dokładny pomiar prędkości. 
Pomiary te wykonano programem RVIDLINES (IRAF).
Nie było takich problemów dla widm MgTri, które były pomierzone metodą korelacji skrośnej.

Uzyskane widma zostały porównane z widmami standardów, najlepsza zgodność 
jest w zakresie F2/F8.
Typ widmowy oraz ruch własny układu 0.022 sekund łuku na rok jest zgodny z 
typowymi gwiazdami Populacji I. 
 


 \begin{figure}
   \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{F1.eps}
      \caption{Widma dla obszaru $H_{\mathrm{\alpha}}$ w fazach 0.46 i 0.65.
              }
   \end{figure}



   \begin{figure}
   \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{F2.eps}
      \caption{
Widmo układu oraz funkcja korelacji skrośnej dla widma z zakresu MgTri
w fazie 0.202.
Pomierzone heliocentryczne prędkości radialne dla obbu składników to 
$V_{\mathrm{1}}=-106.7$ i $V_{\mathrm{2}}=+155.8$ km/s.
                }
   \end{figure}


\begin{table}[!h]
\caption{Obserwacje spektroskopowe pogrupowane zgodnie z zakresem 
i miejscem obserwacji.
\label{t1}}


\begin{center}
\begin{tabular}{cccccc}
\hline
\hline
HJD            & RV1           & $(O-C)_1$    & RV2       &  $(O-C)_2$
& faza \\
zakres sp.      & km~s$^{-1}$ & km~s$^{-1}$ & km~s$^{-1}$ & km~s$^{-1}$&
\\
\hline

 &&&&&\\
\multicolumn{2}{l}{ $H_{\mathrm{\alpha}}$ }       \\
\multicolumn{2}{l}{ 2452100+ ~NAO }\\
 30.2883 & $ +91.9 $   & $ -6.3  $ &$  -105.3    $  &$ +3.6  $  & 0.642 \\
 30.3032 & $ +95.0 $   & $ -7.9  $ &$  -112.5    $  &$ +2.4  $  & 0.652 \\
 30.4180 & $ +122.0$   & $ -1.5  $ &$  -138.2    $  &$ +3.3  $  & 0.734 \\
 30.4322 & $ +123.6$   & $ -0.4  $ &$  -133.8    $  &$ +8.4  $  & 0.744 \\
 30.2746 & $ -98.0 $   & $ -9.8  $ &$  +130.7    $  &$ +0.1  $  & 0.346 \\
 30.2891 & $ -88.7 $   & $ -5.0  $ &$    -       $  &$  -    $  & 0.362 \\

  &&&&&\\
\multicolumn{2}{l}{ NaD }\\
\multicolumn{2}{l}{ 2452100+ ~NAO }\\
 26.4516 & $+71.3 $   & $ -4.6  $ &$ -      $  &$ -  $  & 0.901 \\
 26.4664 & $+74.4 $   & $ +5.0  $ &$ -      $  &$ -  $  & 0.911 \\
  &&&&&\\
\multicolumn{2}{l}{ Mg triplet (5175 {\AA})}       \\
\multicolumn{2}{l}{2452800+ ~DDO }       \\
 85.5512 & $-112.4   $   & $ -3.7  $ &$  155.7     $  &$ -1.4  $  &   0.239
\\
 85.5566 & $-108.5   $   & $ +0.4  $ &$  162.2     $  &$ +4.7  $  &   0.250
\\
 85.5724 & $-107.3   $   & $ +1.2  $ &$  154.6     $  &$ -2.5  $  &   0.261
\\
 88.5685 & $-67.1    $   & $ -7.4  $ &$  88.5      $  &$ -5.6  $  &   0.402
\\
 88.5944 & $-52.0    $   & $ -3.8  $ &$  81.2      $  &$ +1.9  $  &   0.421
\\
  &&&&&\\
\multicolumn{2}{l}{ 2453100+ ~NAO }\\
 37.4274 & $-106.7   $   & $ -3.1  $ &$  155.8     $  &$ +5.0  $  &   0.202
\\
 37.4420 & $-102.4   $   & $ +3.2  $ &$  158.4     $  &$ +7.0  $  &   0.212
\\
 37.4563 & $-107.0   $   & $ +0.1  $ &$  162.3     $  &$ +5.8  $  &   0.222
\\
 93.4802 & $-113.6   $   & $ -4.7  $ &$  163.3     $  &$ +6.7  $  &   0.249
\\
 93.4947 & $-108.6   $   & $ +0.0  $ &$  164.0     $  &$ +0.1  $  &   0.259
\\
  &&&&&\\
\multicolumn{2}{l}{ 2453200+ ~NAO }\\
 21.3082 & $-77.4    $   & $ +0.6  $ &$  117.8     $  &$ +0.1  $  &   0.131
\\
 21.3225 & $-68.4    $   & $ +14.5 $ &$  114.7     $  &$ -9.3  $  &   0.141
\\

\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{table}



\subsection{Obserwacje fotometryczne}

Krzywa blasku ASAS 2 w filtrze $I$ rozciąga się na okres ponad roku.
Obserwację rozpoczęto w październiku 1998 roku. 
Obserwacje w filtrze V były kontynuowane przez ASAS 3. 
Krzywe te posiadają minima o różnej głębokości i wyraźnym zakrzywieniu
maksimów. 

Amplituda zmian blasku w filtrze $I$ wynosi $0^m.137\pm 0.027$. Okres podany
przez ASAS wynosi $1^d.399646$. Krzywa zawiera 828 pomiarów (okres obs. 1 rok) o rozrzucie
$\sigma=0^m.04$. 
Do modelowania użyto również 180 obserwacji (3.2 lat) w filtrze $V$. Mniejsza liczba
punktów powoduje że krzywa w tym filtrze jest gorzej określona.

Do celów udokładnienia efemerydy A. Marciniak wykonała  obserwacje układu
w okolicy minimum. Obserwacje wykonano w obserwatorium w Borowcu w filtrze
$V$. Błędy pojedyńczych pomiarów były rzędu $0^m.01$.
Czas pomiędzy tymi obserwacjami a wynikami z ASAS w filtrze $I$ to sześć lat.
Oba zestawy danych pozwoliły udokładnić okres $P=1^d.399660\pm5\cdot
10^{-7}$. Poprawiona efemeryda to  

\begin{equation}
   \mathrm{Min~I~}=\mathrm{ HJD~ }2,453,253.3170+1^d.399660\cdot E
\end{equation}

gdzie niepewność momentu minimum głównego to $0^d.0005$. Przesnięcie fazowe
minimum wtórnego (Tab. 3.5) wynosi mniej niż $0^d.0004$
więc założono orbitę kołową. Faza zero odpowiada minimum głównemu, w którym
gwiazda masywniejsza (1) jest zaćmiewana przez lżejszą (2).  


\begin{table}[!h]
\caption{Momenty minimów dla BD-003357 na podstawie obserwacji
fotometrycznych}

\begin{center}
\begin{tabular}{lccc}
\hline
\hline
Data   &   HJD & minimum  &  źródło  \\
\hline

11 Sierpień 1999  & 2,451,401.56674 & I   & ASAS I      \\
9 Lipiec 1999  & 2,451,368.67506 & II  & ASAS I      \\
4 Wrzesień 2004  & 2,453,253.31699 & I   & Borowiec V  \\

\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{table}



\subsection{Model Wilsona-Devinney}

Do określenia parametrów układu wykorzystano metodę Wilsona-Deviney (1971).
Skorzystano z programu MINGA zawierającego rozbudowany pakiet procedur
minimalizacyjnych (Plewa, 1992).  

Parametry orbitalne układu zostały zestawione w tabeli 3.6. Otrzymano je w 
wyniku dopasowania krzywych blasku i prędkości radialnych.
Na podstawie różnych amplitud spektroskopowych otrzymałem wyraźnie różniące
się masy. Natomiast odległość składników wynosi około 7.6 promieni Słońca.

%Parametry orbitalne układu zostały zestawione w tabeli 14. Amplitudy krzywych
%obu składników sugerują wyrażną różnićę mas obu składników które znajdują
%się w odległości około 7.6 promieni Słońca.

W literaturze mamy niespójne informacje o typie widmowym i wskaźnikach
barwy. Typ widmowy podawany przez bazę danych Simbad oparty na pomiarach
katalogu PPM to A2. Jest to niezgodne z wskaźnikiem barwy z katalogu Tycho 2
który odpowiada Sp=F5.
Porównanie otrzymanych widm z zakresu MgTri (5125\AA) ze standardami potwierdza wartość
otrzymaną przez Tycho 2.
Inna baza, NOMAD podaje $B-V=0.42$ identyczne z Tycho 2, i niespójny z tą
wartością wskaźnik $V-R=0.28$. 
 

  \begin{figure}
   \centering
   \includegraphics[width=15cm]{F3.eps}
      \caption{ Syntetyczne oraz obserwowane krzywe blasku dla BD-00~3357.
Do oznaczenia obserwacji użyto symboli: $\times$ -  dla obserwacji ASAS 2 w
filtrze $I$, $\triangle$ dla $V$ (ASAS 3) oraz $\bigcirc$ dla obserwacji z
Borowca ($V$).
Obserwacje ASAS są łączone do punktów normalnych, dla lepszego pokrycia
krzywej użyto gęściej rozmieszczonych punktów w minimach. 
Krzywa w filtrze $I$ została przesunięta w górę o 0.1. 
W fazie zero składnik pierwszy jest zaćmiewany przez drugi.	
               }
       
   \end{figure}




\begin{table}[!h]
\caption{Parametry orbitalne dla BD-003357 \label{t4}}


\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\hline
\hline
Parametr &  Składnik 1 & Składnik 2\\
\hline

\multicolumn{2}{l}{dopasowane:}                                    \\
$K$~(km~s$^{-1}$) & 116.6 $\pm$ 1.0  & 150.1 $\pm$ 1.4           \\
$V_{\mathrm{\gamma}}$~(km~s$^{-1}$) &\multicolumn{2}{c}{ 7.6 $\pm$ 1.4}
\\

\multicolumn{2}{l}{wyliczone:}      \\
$a  \sin  i~$(R$_{\odot}$)  &  \multicolumn{2}{c}{ 7.37 $\pm$ 0.05 }     \\

$a_{1,2}  \sin  i~$ ($10^6$ km)   &  2.44 $\pm$ 0.02    & 2.89 $\pm$ 0.03
\\

$M_{1,2}  \sin^3 i~$ (M$_{\odot}$) &  1.55 $\pm$ 0.03    & 1.20 $\pm$ 0.02
\\

\multicolumn{2}{l}{inne wielkości:}       \\
$N_{\mathrm{obs}}$     &   20 &  17           \\
$\sigma~$(km~s$^{-1}$) &  5.7  & 5.2           \\

%$P$    & 2\fd368091 $\pm$ $8\cdot10^{-6}$  \\

\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{table}



Po uzyskaniu wstępnego modelu wyznaczono odległość oraz nadwyżkę barwy E(B-V).
Poprawiony wskaźnik barwy wynosi 0.35. 
Różnica temperatur składników jest dobrze określona przez krzywe
blasku i wynosi około 800K. Z poprawionego wskaźnika barwy, biorąc pod uwagę
jasność składników
oraz różnice temperatur z modelu wstępnego, wyznaczono dla pierwszego składnika
$T_1=7250 K$. Gwiazdy o takiej temperaturze efektywnej posiadają otoczki
konwektywne jednak nie udało się, mimo licznych prób, uzyskać dobrej zgodności 
z krzywymi blasku przy takim założeniu.
Dopiero po przyjęciu albedo A=1.0 i współczynnika pojaśnienia grawitacyjnego g=1.0
odpowiadających otoczce promienistej, uzyskano dobrą zgodność. Być może ta
rozbieżność jest związana z problemami z wyznaczeniem koloru/temperatury
układu. Dane z literatury na ten temat są niespójne. 

Dla składnika drugiego wyznaczono temperaturę 6425K czyli otoczka gwiazdy jest
konwektywna, przyjęto zatem A=0.5 oraz g=0.32. Współczynniki pociemnienia
brzegowego wzięto z pracy Van Hamme'a (1993).  

Końcowe dopasowanie wykonano na podstawie pomiarów prędkości radialnych z
tabeli 3.4,  obserwacji ASAS 2, 3 w filtrach $I$, $V$ oraz obserwacji z
Borowca w filtrze $V$.
W tabeli 3.7 są przedstawione parametry otrzymanego modelu układu a parametry
absolutne w tabeli 3.8.   
Krzywe blasku i prędkości radialnych są przedstawione na rysunkach 3.8 i 3.9.

\subsubsection{Rozwiązanie oparte tylko na krzywej blasku}
Zniekształcenia elipsoidalne niosą informacje o promieniach składników 
a co za tym idzie również o nachyleniu orbity. Aby sprawdzić spójność 
wyników RV i LC wykonano dopasowania bazujące tylko na krzywej blasku.
Otrzymano dwa rozwiązania o porównywalnej jakości. Pierwsze z nich 
jest bliskie modelu który opisano powyżej. Stosunek mas który uzyskano 
wynosi $q=0.77\pm0.04$ jest on bliski do spektroskopowego.
Kolejne minimum, które znaleziono jest nieznacznie głębsze (lepsze) jednak
stosunek mas różni się znacznie od spektroskopowego i wynosi $0.62\pm0.02$.  


  \begin{figure}
   \centering
   \includegraphics[width=0.7\textwidth]{F4.eps}
      \caption{Pomiary prędkości radialnych oraz krzywe syntetyczne dla BD-00~3357.
Krzywe syntetyczne wykreślono metodą Wilsona-Deviney.
Symbolami $\bigcirc$ oznaczono obserwacje z zakresu 5175{\AA},
$\bigtriangledown$ -
H$_\alpha$, oraz symbol $\Box$ dla pomiarów z zakresu NaD.
Krzywa dla składnika o większej masie posiada maksimum w fazie 0.75.}
   \end{figure}





\begin{table}[!h]
\caption{
Model BD-00 3357
\label{t4}}


\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\hline
\hline
Parametr & Składnik 1 & Składnik 2 \\
\hline

$i$        &      \multicolumn{2}{c}{      74^{\circ}.75 $\pm$ 0^{\circ}.72   }
\\
$q$        &      \multicolumn{2}{c}{      0.776    $\pm$ 0.018     }
\\
$A($R$_{\odot})$&  \multicolumn{2}{c}{      7.649    $\pm$ 0.079     }
\\
$T$      &  7250 K                 &  6425    $\pm$ 30 K
\\
$\Omega_{\mathrm{12}}$ & 5.11     $\pm$ 0.49   & 5.64     $\pm$ 0.37
\\
$l_{\mathrm{I}}$      & 0.750      $\pm$ 0.012  & 0.250    $\pm$ 0.011
\\
$l_{\mathrm{V}}$      & 0.793      $\pm$ 0.022  & 0.207    $\pm$ 0.020
\\
$x_{\mathrm{12}}(I)$   & 0.303 & 0.352    \\
$x_{\mathrm{12}}(V)$   & 0.501 & 0.551    \\
$g_{\mathrm{12}}$   & 1.0   & 0.32   \\
$a_{\mathrm{12}}$   & 1.0   & 0.5    \\


\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}



\begin{table}[!h]
\caption{
Parametry absolutne układu wyznaczone z modelu Wilsona-Devinney.
Masy i promienie podane są w jednostkach słonecznych a log(g)
w jednostkach $CGS$.}

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\hline
\hline
 &   Składnik 1  & Składnik 2  \\
\hline
Masa      & 1.73 $\pm$  0.04  & 1.34 $\pm$  0.03   \\
Promień     & 1.78 $\pm$  0.20  & 1.32 $\pm$  0.07   \\
\\
$log(g)$  & 4.18 $\pm$  0.12  & 4.33 $\pm$  0.07   \\
$M_{\mathrm{bol}}$    & 2.52  $\pm$  0.53  & 3.69  $\pm$  0.37  \\
\\
$R_{\mathrm{point}}$  & 1.81  $\pm$  0.29  & 1.33  $\pm$  0.10  \\
$R_{\mathrm{side}}$   & 1.78  $\pm$  0.20  & 1.31  $\pm$  0.07  \\
$R_{\mathrm{back}}$   & 1.80  $\pm$  0.20  & 1.33  $\pm$  0.07  \\
$R_{\mathrm{pole}}$   & 1.76  $\pm$  0.19  & 1.31  $\pm$  0.07  \\


\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{table}



\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{3dbd.eps}
\caption{Trójwymiarowy obraz układu w różnych fazach ruchu orbitalnego.}
\end{center}
\end{figure}





\subsection{Wiek i odległość układu}

Na podstawie wzorów 2.21-2.25 oraz wyników z tabeli 3.8 wyznaczono odległość układu.
 Jasność widoma układu wynosi $V=9^m.98$ - wynik z katalogu Tycho 2.
Poprawki bolometryczne odpowiadające temperaturom 7250K i 6425K wynoszą 
$BC_{V1}=-0.09$ oraz $BC_{V2}=-0.15$ (Astrophysical Quantities, Cox 1999).  
Jasności absolutne składników w filtrze $V$ wynoszą $M_{V1}=2.61$ oraz
$M_{V2}=3.84$. Wyznaczono je na podstawie relacji między temperaturą,
promieniem (z modelu) i jasnością absolutną (równanie 2.22).  
Na podstawie map poczerwienienia Burnsteina i Heilesa (1982) wyznaczono
ekstynkcję. Współrzędne galaktyczne układu to długość $l=25^{\circ}.06$ oraz
szerokość $b=+14^{\circ}.30$. Nadwyżka barwy wynosi  E(B-V)=0.24 na
kiloparsek. Iteracyjnie wyznaczono wartości $A_V$ oraz paralaksy.
Uzyskano $\pi=3.24\pm 0.74$ mas co odpowiada odległości $310\pm60$ pc.
Oznacza to iż układ leży w odległości mniejszej niż 100 pc od płaszczyzny
dysku galaktycznego. 


  \begin{figure}
   \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{F5.eps}
      \caption{ Ciągi ewolucyjne (linie ciągłe) składników BD-00~3357 dla
metaliczności $Z=0.02$; linia punktowana odpowiada zerowemu wiekowi na c.g. (ZAMS);
linie przerywane określają granice błęów w wyznaczeniu masy.}
   \end{figure}


Aby określić wiek układu skorzystano z modeli ewolucyjnych (Kim et al.,
2002). Na wykresie $log(g)-log(T)$ (Rys. 3.11) wykreślono ciągi ewolucyjne 
dla mas z tabeli 3.8, zakładając 
metaliczność $Z=0.02$ typową dla populacji pierwszej gwiazd.
Punkty określające obserwowane parametry obu składników leżą na prawo 
od swoich ciągów ewolucyjnych. Przyczyn tej niezgodności może być kilka. 
Po pierwsze błąd
wskaźnika barwy układu odpowiada błędowi w temperaturach rzędu 300K. 
Kolejnym wytłumaczeniem tego faktu moze być nietypowa metaliczność 
rzędu 0.03 która jest mozliwa dla tak młodego układu. Przy takiej
metaliczności ciągi przesuwają się na prawo i zgodność byłaby znacznie
lepsza.
Trzeba tutaj rownież zaznaczyć iż jakość pomiarów amplitud krzywych
prędkości radialnych jest umiarkowana. Liczba punktów jest
zbyt mała zwłaszcza w okolicy fazy 0.75. W tabeli 3.3 widać również
wyraźnie (O--C) iż amplituda otrzymana z korelacji skrośnej (zakres 5175\AA~ w
pobliżu fazy 0.25)
jest większa niż z obserwacji w $H_{\alpha}$ w pobliżu fazy 0.75.
Prawdopodobną przyczyną tej różnicy jest silne zblendowanie obu składowych
$H_{\alpha}$ na skutek szerokich skrzydeł linii, pomiar programem RVIDLINES
dodatkowo był utrudniony zaszumieniem widm. 
Wyznaczone masy są bardzo wrażliwe na dokładność amplitud RV co też może
wpłynąć na zgodność na wykresie $log(g)-log(T)$. 
Biorąc pod uwagę zakresy błędów możemy określić przybliżony wiek układu na 
około jeden miliard lat.













\newpage
\section{IO Aquarii}

Układ podwójny IO Aquarii był obserwowany przez satelitę Hipparcos (HIC
102041), zaklasyfikowano go do grupy gwiazd o największej amplitudzie zmian
blasku. Dokładniejsze obserwacje fotometryczne otrzymał ASAS (All Sky
Automated Survey; Pojmański 1997). Jasność układu w maksimum wynosi
$V=8^m.87$. Krzywa blasku posiada dwa minima o prawie jednakowej głębokości
i słabym zakrzywieniu maksimów. Sugeruje to iż układ składa sie z dwóch
bardzo podobnych, rozdzielonych i nieco zniekształconych składników.
Na podstawie obserwacji fotometrycznych uzyskanych przez Hipparcosa
wyznaczono okres $2^d.36816$ (Perryman et. all 1997).   
Wskaźnik barwy uzyskany z tych obserwacji wynosi $B-V=0.512\pm 0.025$.
Z obserwacji w systemie Wileńskim otrzymano $B-V=0.53$ po transformacji do systemu Johnsona. 
Wartość wskaźnika barwy z katalogu Tycho 2 to $B-V=0.45\pm0.03$.
Układ sklasyfikowano w katalogu Henry Drapera jako gwiazdę typu widmowego G0. Wskaźnik
barwy odpowiadający G0 dla gwiazd ciągu głównego i olbrzymów to
odpowiednio 0.58 i 0.65, co różni się od pomiarów powyższego wskaźnika $B-V$. 

Paralaksa trygonometryczna pomierzona przez satelitę Hipparcos wynosi $5.4\pm
1.3$ mas.
Odległośc i jasność widoma sugerują że składniki powinny mieć większe
rozmiary niż gwiazdy  ciągu głównego o tej barwie.
Zaćmienia są częściowe jednak zakrzywienie maksimów które niesie informacje
o stopniu wypełnienia powierzchni Roche'a, pozwala uniknąć niepewności
związanej z promieniami i nachyleniem. Obiekt nie był wcześniej obserwowany
spektroskopowo, toteż do celów modelowania w niniejszej pracy uzyskano serię widm.

\subsection{Obserwacje spektroskopowe IO Aquarii.} 

Wiekszość obserwacji spektroskopowych  układu IO Aquarii została wykonana w ciągu siedmiu nocy
w sierpniu roku 2001 w obserwatorium Rozhen na 2m teleskopie. Obserwowano
obiekt na długościach fali w okolicah linii $H_{\alpha}$ i dubletu sodowego
NaD. Ekspozycje trwały 20 min co dało średeni stosunek sygnału do szumu
S/N~80. Dyspersja wynosi 0.2\AA ~na piksel.
Do kalibracji widm użyto lampy torowo argonowej. Typowy rozrzut dopasowania
wielomianu do linii toru i argonu wynosi $\sigma=0.02$~\AA~ co wystarcza
przy dokładności pomiarów prędkości radialnych rzędu $ 1km~s^{-1}$.  
Większość obserwacji wykonano w zakresie NaD a obserwacje linii $H_{\alpha}$
posłużyły do kontroli wyników.
Wszystkie widma zostały zredukowane standardowymi procedurami z pakietu
IRAF.
Do pomiaru prędkości radialnych dla widm NaD zastosowano metodę korelacji
skrośnej (program FXCOR, IRAF). Jako widmo odniesienia posłużyło widmo
wykonane bardzo blisko fazy zero ruchu orbitalnego. Heliocentryczna prędkość
uzyskana z tego widma została wyznaczona na podstawie pomiaru długośći fali dwóch linii 
dubletu sodowego przy użyciu programu RVIDLINES (IRAF).
W widmach NaD i $H_{\alpha}$ widać wyraźnie linie obu składników. Średni
błąd kwadratowy wyników z tabeli 3.8 (bez uwzględnienia punktów odskakujących) 
wynosi dla składnika pierwszego $ 2.2~km~s^{-1}$ i dla drugiego
$2.5~km~s^{-1}$. 
  
W widmach NaD (Rys. 3.12) widać linie obu składników (linie 1,2) oraz linie
absorpcyjne (3) prawdopodobnie związaną z absorpcją międzygwiazdową, w
widmach $H_{\alpha}$ nie ma trzeciej składowej. Ta składowa komplikuje
pomiar ponieważ w przebiegu CCF pojawia się trzeci pik. W trakcie
deblendingu (Rys. 3.14) wpływ tej składowej usuwano dopasowując trzy profile
Gaussa. 
Średnia prędkość radialna dla trzeciej linii wynosi $-17 km~s^{-1}$ a jej 
szerokość połówkowa (FWHM) jest w przybliżeniu równa szerokości
instrumentalnej (0.4 \AA). 

Pomiar prędkości radialnych dla obserwacji z zakresu $H_{\alpha}$ (Rys 3.13) wykonano
programem RVIDLINES. 
W obserwatorium DDO (Kanada) uzyskano trzy widma, które posłużyły do kontroli
wyników. Obserwacje wykonał Piotr Ligęza w zakresie widmowym MgTri (5175
\AA).




\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{NaDend.ps}
\caption{seria widm NaD z różnych faz. Widać linie od obu składników (1,
2) oraz linie międzygwiazdową (3).}
\end{center}
\end{figure}


\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{Ha4.eps}
\caption{Fragment widma z rozszczepioną linią $H_{\alpha}$ dla fazy 0.23.
Prędkości radialne pomierzone z tych dwóch linii wynoszą dla pierwszego składnika -108.3 i
105.5 $km~s^{-1}$ dla drugiego. Wąskie linie po obu stronach $H_{\alpha}$ pochodzą od
ziemskiej atmosfery.}
\end{center}
\end{figure}


\begin{table}[t]
\caption{Pomiary prędkości radialnych dla obu składników z zakresu 
dubletu sodowego NaD. Punkty odskakujące, których nie użyto w dopasowaniach 
oznaczono ($\star$).}


\begin{center}
\begin{tabular}{cccccc}
\hline
\hline


HJD            & RV1           & $(O-C)_1$    & RV2       &  $(O-C)_2$
& faza \\
2452100+     & km~s$^{-1}$ & km~s$^{-1}$ & km~s$^{-1}$ & km~s$^{-1}$&
\\

\hline


 26.2722 & $-111.5 $   & $ -1.0  $ &$ +100.1      $  &$ +0.6  $  & 0.318 \\
 26.2865 & $-108.1 $   & $ +0.5  $ &$ +98.0       $  &$ +0.4  $  & 0.324 \\
 26.4205 & $-82.7  $   & $ +0.7  $ &$ +84.0^\star $  &$ +10.0 $  & 0.381 \\
 26.4356 & $-78.3  $   & $ +1.2  $ &$ +79.0^\star $  &$ +8. 7 $  & 0.387 \\
 27.2979 & $+120.2 $   & $ +2.9  $ &$-118.4       $  &$ -4.4  $  & 0.751 \\
 27.3126 & $+120.7 $   & $ +3.5  $ &$ -117.7      $  &$ -3.8  $  & 0.758 \\
 27.4172 & $+111.6 $   & $ +0.6  $ &$ -108.0      $  &$ +0.1  $  & 0.802 \\
 27.4315 & $+111.4 $   & $ +1.9  $ &$ -107.8      $  &$ -1.1  $  & 0.808 \\
 27.5419 & $ +94.3 $   & $ +2.0  $ &$  -86.8      $  &$ +3.8  $  & 0.854 \\
 27.5561 & $ +90.0 $   & $ +0.5  $ &$  -78.7^\star$  &$ +9.3  $  & 0.860 \\
 28.3861 & $-120.7 $   & $ -2.8  $ &$ +103.9      $  &$ -2.6  $  & 0.211 \\
 28.4042 & $-121.9 $   & $ -2.6  $ &$ +106.2      $  &$ -1.5  $  & 0.218 \\
 28.4672 & $-121.0 $   & $ +0.5  $ &$ +108.3      $  &$ -1.5  $  & 0.245 \\
 28.4826 & $-123.6 $   & $ -2.1  $ &$ +108.9      $  &$ -0.9  $  & 0.252 \\
 28.4982 & $-118.6 $   & $ +2.7  $ &$ +107.9      $  &$ -1.7  $  & 0.258 \\
 29.3796 & $+86.4  $   & $ +0.8  $ &$  -80.0      $  &$ +4.2  $  & 0.630 \\
 29.3938 & $+87.2  $   & $ -1.3  $ &$  -83.8      $  &$ +3.2  $  & 0.636 \\
 29.5155 & $+105.9 $   & $ -2.6  $ &$  -109.5     $  &$ -3.9  $  & 0.688 \\
 29.5302 & $+107.1 $   & $ -2.9  $ &$  -110.1     $  &$ -3.0  $  & 0.694 \\
 30.4702 & $-62.5  $   & $ +4.3  $ &$  +70.9^\star$  &$ +12.4 $  & 0.091 \\
 30.4851 & $-71.3  $   & $ -0.1  $ &$  +74.1^\star$  &$ +11.5 $  & 0.097 \\
 30.5919 & $-92.8  $   & $ +2.8  $ &$   +86.5     $  &$ +1.0  $  & 0.142 \\
 30.6066 & $-94.6  $   & $ +3.6  $ &$   +86.2     $  &$ -1.9  $  & 0.149 \\


\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{table}



\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{ccf.ps}
\caption{Funkcja korelacji skrośnej dla trzech różnych faz. Zewnętrzne piki
odpowiadają obu składnikom a środkowy absorpcji międzygwiazdowej.}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Obserwacje Fotometryczne.}

IO Aqr była obserwowana przez satelitę Hipparcos w przybliżeniu przez trzy lata
, w tym czasie zebrano 89 pomiarów w filtrze $Hp$. Pokrycie faz jest jednak 
niekompletne a rozrzut duży.

Natomiast krzywa blasku uzyskana przez ASAS jest dobrej jakości, zawiera 992 punkty w
filtrze $I$ i pokrywa wszystkie fazy. Obserwacje trwały ponad rok. Amplituda
zmian blasku wynosi $0^m.37$ a okres zmian 2.368131 dni. Błędy
poszczególnych obserwacji są duże co jest typowe dla tak małych instrumentów
jednak liczba pomiarów pozwala na dokładne określenie krzywej blasku
(Pojmański 1997).  
Na podstawie O-C punktów normanych oszacowano wstecz błędy poszczególnych
obserwacji, wyniosły one $0^m.015$. 
Aby udokładnić efemerydę podjęto obserwacje fotometryczne w Obserwatorium
w Borowcu na 0.4m teleskopie Newtona. Teleskop posiada kamerę CCD (KAF 400,
750x510 pikseli), użyto filtrów $R$ oraz $V$. Do redukcji użyto pakietu Starlink
(CCLR) do fotometrii aperturowej. Obserwacje wykonał zespół obserwatorów z
Borowca i autor niniejszej pracy. 
Fotometrię różnicową wykonano korzystając z gwiazd porównania GSC 0511-0962
($V=10^m.7$) oraz GSC 0511-2041 ($V=11^m.0$). 
Błędy poszczególnych obserwacji z Borowca sa rzędu $0^m.01$.
Pokrycie fazowe tych obserwacji jest niekompletne, mimo to obserwacje
zaćmień pozwoliły udokładnić efemerydę.





\begin{table}[t]
\caption{Obserwacje fotometryczne IO Aqr w Borowcu}

\begin{center}
\begin{tabular}{lccccc}
\hline
\hline
Data           &   $T_p$   & $T_k$   & filtr  & czas eksp.   & $n_{obs}$\\
               &    UT     &    UT   &        &    s   &  \\
\hline

21 Lipiec    2002    & 21:40     &  1:30  &   R    &   45  & 202 \\
28 Lipiec    2002    & 20:30     &  1:45  &   R    &   45  & 276 \\
31 Lipiec    2002    & 21:00     &  1:30  &   R    &   40  & 261 \\
3~ Sierpień 2002    & 20:18     &  1:20  &   R    &   45  & 270 \\
12 Wrzesień 2002    & 19:30     &  23:00 &   V    &   100 & 97  \\


\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{table}



\subsection{Efermeryda} 

Okres wyznaczony przez Hipparcosa wynosi 2.36816 dni, jest on oparty na
obserwacjach z przedziału 2.65 lat. Obserwacje wykonane przez ASAS są lepszej
jakości lecz są z przedziału tylko 1.26 lat. Okres wyznaczony z tych obserwacji wynosi 
2.368131 dni, nie podano wartości błędu. Jednak jakość obserwacji określa
fazę z dokładnością około 0.01 P. Dla okresu obserwacji 1 rok odpowiada to
dokładności $\pm6\times 10^{-5}$. Oba okresy fotometryczne zgadzają się ze sobą w
granicach tego błędu. Obserwacje w Borowcu  zostały uzyskane trzy lata po
obserwacjach ASAS. Niepewność fazy w tym okresie nie przekracza $0^d.05$
czyli liczba cykli jest jednoznaczna. Założono orbitę kołową. Na podstawie
obserwacji z ASAS oraz Borowca otrzymano następujące poprawione wartości okresu 
P=2^d.368091$\pm8\times 10^{-6}$ oraz efemerydę:

\begin{equation}
   \mathrm{Min~I~}=\mathrm{ HJD~ }2,452,530.4516+2^d.368091\cdot E
\label{e1}
\end{equation}


\begin{table}[t]
\caption{Momenty minimów dla IO Aqr z obserwacji fotometrycznych oraz
spektroskopowych}

\begin{center}
\begin{tabular}{lccl}
\hline
\hline
Data   &   HJD & minimum  &  źródło  \\
\hline

2~ Wrzesień 1991  & 2,448,502.3278 & I   & Hipparcos (fot.)\\
31 Maj 1999  & 2,451,329.8295 & I   & ASAS      (fot.)\\
4~ Sierpnień 2001& 2,452,125.5187 & I   & Rozhen    (spektr.)\\
12 Wrzesień 2002 & 2,452,530.4516 & I   & Borowiec  (fot.)\\


\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{table}


gdzie niepewność fazy minimum głównego wynosi $0^d.0020$. Efemeryda jest w
zgodzie z momentami minimów z tabeli 3.10. Faza zero odpowiada głębszemu minimum,
gdy następuje zaćmienie składnika lżejszego (1) przez bardziej masywnego (2). 	



\subsection{Wyznaczenie parametrów składników}

\subsubsection{Dane wejściowe}

Do pomiarów prędkości radialnych z tabeli 3.8 dopasowano funkcje sinus.
Odrzucono pięć odskakujących pomiarów (>3$\sigma$). Wynik dopasowania został 
zaprezentowany w tabeli 3.12, jako parametry orbitalne. Prędkość radialna układu 
to średnia wartość z obu sinusoid. Porównywalne amplitudy krzywych RV 
świadczą o stosunku mas bliskim 1.  

Maksima krzywej blasku są tylko nieznacznie zakrzywione co świadczy o małym
wypełnieniu krytycznej powierzchni Roche'a - małym spłaszczeniu składników
(Rys 3.15). Kształt minimów oraz fakt iż ich głębokość nie przekracza $0^m.4$
świadczy o tym, że zaćmienia są częściowe. 

Na podstawie wskaźnika barwy z katalogu Tycho 2 możemy założyć temperaturę 
$T_1$ równą 6600 K. Próbne dopasowania wykonane programem MINGA (Plewa 1988,
1992) wskazują na minimalną różnicę w temperaturach obu składników.
Podobieństwo mas, temperatur i wieku sugeruje również podobne promienie i
jasności składników.
Przyjęto dla obu składników współczynnik pojaśnienia grawitacyjnego $g=0.32$ oraz 
albedo $A=0.5$. Zgodnie z pracą Wade \& Rucinski (1985) przyjęto
$log(g)=3.9$ (model wstępny) i współczynniki pociemnienia brzegowego w filtrze
$I$ równe 0.4. 

Do modelowania ze względu na jakość wybrano krzywą ASAS(I). Z tych
obserwacji wyznaczono punkty normalne o różnej gęstości dla zaćmień i
maksimów. W fazach zaćmień sumowano mniejszą liczbę obserwacji aby uzyskać 
dobrą gęstość punktów normalnych.
Jasność układu w maksimum wynosi $l_0=8^m.27$.  

Aby zbadać ewentualne różne minima funkcji $\chi^2$ wykonano wiele próbnych 
dopasowań korzystając z różnych punktów startowych.
Wykonano dopasowania jednocześnie dla danych spektroskopowych i
fotometrycznych oraz tylko do obserwacji fotometrycznych aby sprawdzić
spójność danych i wyników.

 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{table}[t]
\caption{Parametry orbitalne IO Aqr}


\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\hline
\hline
parametr &  składnik 1 & składnik 2\\
\hline

\multicolumn{2}{l}{dopasowane:}                                    \\
$K$~(km~s$^{-1}$) & 119.6 $\pm$ 0.5  & 111.9 $\pm$ 0.6           \\
$V_{\mathrm{\gamma}}$~(km~s$^{-1}$) &\multicolumn{2}{c}{-2.2 $\pm$ 0.6}
\\

\multicolumn{2}{l}{wyznaczone:}      \\
$a  \sin  i~$(R$_{\odot}$)  &  \multicolumn{2}{c}{10.830 $\pm$ 0.036 }     \\
$a_{1,2}  \sin  i~$ ($10^6$ km)   &  3.894 $\pm$ 0.015    & 3.644 $\pm$
0.020
 \\
$M_{1,2}  \sin^3 i~$ (M$_{\odot}$) &  1.474 $\pm$ 0.017    & 1.575 $\pm$
0.015
 \\

\multicolumn{2}{l}{inne wielkości:}       \\
$N_{\mathrm{obs}}$   &   23 & 18           \\
$\sigma~$(km~s$^{-1}$) &  2.2 & 2.5           \\

%$P$    & 2\fd368091 $\pm$ $8\cdot10^{-6}$  \\

\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{table}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%






\subsubsection{Model WD}

Do szczegółowego modelowania systemu w oparciu o prędkości radialne i krzywe
blasku, 
skorzystano z programu Wilsona-Devinney 
rozbudowanego przez T. Plewe. Program MINGA zawiera dodatkowo blok procedur
minimalizacyjnych (Plewa 1988, 1992).

Próbne dopasowania ze zmienną temperaturą $T_2$ sugerują że 
składnik pierwszy jest o 200K gorętszy od drugiego.
Ze względu na lepszą jakość do modelowania wykorzystano tylko widma NaD.
Ostatecznie odrzucono pięć pomiarów, które odskakują o ponad $3\sigma$.
Korzystając  trzech widm MgTri z DDO uzyskano niezależną ocenę stosunku mas
$q=1.073\pm 0.05$ co jest zgodne w granicach błędu z wynikiem otrzymanym 
w NAO Rozhen dla NaD.

Tabela 3.12 prezentuje dwa rozwiązania (A i B). Syntetyczne krzywe blasku dla obu 
są prawie identyczne (Rys. 3.15). Pierwsze rozwiązanie wykazuje minimalnie lepszą 
zgodność z obserwacjami w sensie $\chi^2$, jednak to drugie pasuje znacznie lepiej do 
ciągów ewolucyjnych (Rys. 3.18).      
Ostateczne dopasowanie dla rozwiązania A daje nam prawie identycze składniki
o stosunku mas $q=1.068$ oraz stosunku promieni $R_2/R_1= 1.044$.
W przypadku B mamy znacznie większy stosunek promieni $R_2/R_1= 1.215$.
W obu przypadkach składniki słabo wypełniają swoje krytyczne powierzchnie
Roche'a. Zgodnie z definicja współczynnika wypełnienia podaną przez
Wilsona i Devinney'a wynosi on $f_1=-3.52$ oraz $f_2=-3.73$ dla A i
$f_1=-4.29$ oraz $f_2=-3.18$ dla rozwiązania B. 



\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{lc2.eps}
\caption{Syntetyczna krzywa blasku dla IO Aquarii porównana z punktami
normalnymi z obserwacji ASAS w filtrze $I$. Punkty normalne mają większą
gęstość w minimach aby zapewnić wystarczające pokrycie krzywej. Przy tej skali
krzywe dla modeli A i B są nierozróżnialne. W fazie 1.0 składnik pierwszy
jest zaćmiewany przez składnik drugi.}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{RV.eps}
\caption{Krzywa prędkośći radialnych dla IO Aqr. Kwadratami oznaczono
obserwacje z zakresu NaD, 
punkty oznaczone symbolami 
wypełnionymi zostały odrzucone. Pomiary linii
$H_{\alpha}$ oznaczone są trójkątami. Obserwacje wykonane w DDO w okolicy
{5175\AA}  ~oznaczono symbolami $\times$. Linia ciągła prezentuje krzywe
syntetyczne uzyskane kodem WD. Krzywa składnika 1 posiada maksinmum w fazie
0.75.}
\end{center}
\end{figure}


\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{3D.ps}
\caption{Trójwymiarowy obraz układu dla dwóch faz ruchu orbitalnego.}
\end{center}
\end{figure}







\begin{table}[h!]
\caption{rozwiązania A i B oparte na obserwacjach spektroskopowych  NaD oraz 
fotometrii ASAS w filtrze $I$.}


\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\hline
\hline
Parametr &  Rozwiązanie A & Rozwiązanie B \\
\hline

$i$        & $81^{\circ}.36 \pm 0^{\circ}.70$ & $81^{\circ}.63 \pm 0^{\circ}.62$             \\
$q$        & 1.068    $\pm$ 0.006  & 1.067    $\pm$ 0.006
\\
$A($R$_{\sun})$& 10.96    $\pm$ 0.04 & 10.98    $\pm$ 0.04               \\
$\Omega_1$ & 5.90     $\pm$ 0.22   & 6.35     $\pm$ 0.29                \\
$\Omega_2$ & 5.91     $\pm$ 0.20   & 5.61     $\pm$ 0.17                \\
$l_1$      & 0.498    $\pm$ 0.013  & 0.420    $\pm$ 0.013               \\
$l_2$      & 0.502    $\pm$ 0.013  & 0.580    $\pm$ 0.013               \\
$T_1$      & \multicolumn{2}{c}{ 6600 K }                                \\
$T_2$      & 6400  $\pm$ 300 K     &    6425  $\pm$ 300 K               \\
$x_{12}$   & \multicolumn{2}{c}{0.4 }      \\
$g_{12}$   & \multicolumn{2}{c}{0.32}      \\
$a_{12}$   & \multicolumn{2}{c}{0.5 }      \\
$\chi^2 / df $   & 1.26    & 1.29                  \\

\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{table}






\begin{table}[!h]
\caption{Parametry absolutne składnikow IO Aqr dla obu rozwiązań
A i B wyznaczone z modelu Wilsona-Devinney (Tab. 3.13).}

\begin{center}
\begin{tabular}{ccccc}
\hline
\hline
 & składnik 1$^A$  & składnik 1$^B$  & składnik 2$^A$ & składnik 2$^B$  \\
\hline


Masa  [$M_{\odot}$]    & 1.53 $\pm$  0.02 & 1.53 $\pm$  0.02 &1.63 $\pm$0.02 &   1.64
$\pm$ 0.02\\
$R_{\mathrm{point}}$ [$R_{\odot}$]  & 2.32 $\pm$  0.15 & 2.11 $\pm$  0.19  & 2.42 $\pm$
0.11  & 2.60 $\pm$ 0.18 \\
$R_{\mathrm{side}}$  [$R_{\odot}$] & 2.28 $\pm$  0.10 & 2.09 $\pm$  0.13  & 2.38 $\pm$
0.08  & 2.54 $\pm$ 0.12 \\
$R_{\mathrm{back}}$  [$R_{\odot}$] & 2.31 $\pm$  0.10 & 2.11 $\pm$  0.13  & 2.41 $\pm$
0.08  & 2.58 $\pm$ 0.12 \\
$R_{\mathrm{pole}}$  [$R_{\odot}$] & 2.26 $\pm$  0.10 & 2.07 $\pm$  0.13  & 2.36 $\pm$
0.08  & 2.51 $\pm$ 0.12 \\



\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{table}


\subsection{Odległość i wiek układu}


Do oszacowania paralaksy fotometrycznej IO Aqr założono sferyczny kształt
składników i ich promień równy $R_{side}$. Do określenia 
jasności absolutnej w filtrze $V$ skorzystano ze wzoru 2.22.
Przyjęto jasność widomą układu $V=8^m.87$ (Tycho 2) i poprawkę
bolometryczną dla obu składników $BC_V=-0.14$ (Binney \& Marrifield 1998)
odpowiadającą temperaturze 6500 K.
Paralaksa pomierzona przez satelitę Hipparcos wynosi $5.4\pm 1.3$mas.
Z uzyskanego modelu bez uwzględnienia ekstynkcji międzygwiazdowej
otrzymano paralaksę $\pi=3.9$mas. Na podstawie map Burnsteina i Heilesa
(1982) które podają wartość $E(B-V)=0.09$ na kiloparsek wyznaczono
ekstynkcję $A_V$ oraz poprawioną paralaksę fotometryczną $4.1$ mas.
Odpowiada to odległości 247 pc.

Masy i rozmiary składników wskazują na to iż są one blisko swojego
punktu odejścia z ciągu głównego. Promień gwiazdy o masie $1.5 M_{\odot}$ na
ciągu głównym wynosi około $1.5R_{\odot}$.
Aby sprawdzić  status ewolucyjny składników wykonano dodatkowe dopasowania WD 
narzucając potencjały powierzchniowe $\Omega_{12}$ odpowiadające promieniom
gwiazd z ciągu głównego o tej masie. Składniki układu nie mogą być 
na ciągu głównym ponieważ dopasowania te posiadały wartość
$\chi^2$ o dwa rzędy gorszą niż uzyskane w modelach A i B.    

Na wykresie empirycznej zależności masa-promień składniki IO Aqr leżą tuż nad ciągiem
głównym (Gimenez \& Zamorano 1985). Aby zbadać dokładniej ich status
ewolucyjny i roztrzygnąć, które z rozwiązań (A, B) jest poprawne wykreślono
ciągi ewolucyjne dla obu składników na wykresie log($T_{eff}$)-log($g$)
korzystając z pracy Kim et al. (2002), wyznaczonych mas oraz zakładając metaliczność $Z=0.02$.
Wykres ten wyraźnie wskazuje na rozwiązanie B jako poprawne (Rys. 3.18).
Punkty dla rozwiązania B leżą blisko odpowiadających im
ciągów. 
Powszechnie uważa się iż składniki gwiazd podwójnych powstają jednocześnie.
Składnik masywniejszy 2 ,,wyprzedził'' w ewolucji składnik pierwszy.
Gwiazdy masywniejsze ewoluują szybciej. Składnik drugi w trakcie ewolucji
szybciej zwiększał promień i co za tym idzie szybciej spadała jego
temperatura efektywna niż gwiazdy 1.    
Spowodowało to sytuacje, w której gwiazda masywniejsza posiada obecnie niższą
temperaturę efektywną od swojego towarzysza.

Kolejnym argumentem za poprawnością rozwiązania B jest dobra zgodność wieku 
obu składników, który wynosi 1.9 miliardów lat.

Głębokość linii widmowych również niesie informacje o składnikach. Stosunek 
głębokości linii obu składników ma duży rozrzut jednak średnia jest bliżej
wartości 0.72 (B) niż 0.99 (A). Różnica pomiędzy obu składnikami jest dobrze
widoczna na widmie $H_{\alpha}$ (Rys. 3.13).

\vspace{3cm}
                                         
Składniki układu znajdują się blisko pasa niestabilności na wykresie HR.
Z tego względu poszukiwano zmian jasności układu. Do tego celu
korzystajac z otrzymanego modelu usunięto z obserwacji wpływ zaćmień i
elipsoidalności składników. Przetworzone w ten sposób obserwacje ASAS
użyto do analizy. Żadnych zmian okresowych nie stwierdzono. 


\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{H4478F5.eps}
\caption{Ślady ewolucyjne dla obu składników. Puste symbole oznaczają 
rozwiązanie A a wypełnione B. Składniki 1 i 2 oznaczono odpowiednio
symbolami $\bigcirc$ oraz $\triangle$.}
\end{center}
\end{figure}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%








\newpage
\section{Układ o orbicie eliptycznej - V821 Cassiopeiae}

\subsection{Obserwacje}
Obiekt V821 Cas znajduje się na liście A. Kruszewskiego i I. Semeniuk (1999)
bliskich gwiazd zaćmieniowych które mogą posłużyć do kalibracji jasności
powierzchniowej i wymagają dodatkowych obserwacji. Obiekt był obserwowany
przez satelite Hipparcos, jego paralaksa trygonometryczna wynosi
$\pi=5.38\pm 0.91$ co odpowiada odległości 186 parseków. 
Układ był również obserwowany przez ASAS jednak krzywa blasku jest
niekompletna. 
Jasność układu wynosi w filtrze $V$ $8^m.3$. Typ widmowy podany przez
katalog PPM to A0.
Do celów modelowania P.Ligęza wykonał w DDO obserwacje spektroskopowe 
a obserwacje fotometryczne wykonał zespół T. Kwiatkowskiego na 40 cm
teleskopie Newtona w Borowcu.  
Pomiar prędkości radialnych został wykonany przez autora niniejszej pracy
przy pomocy programu FXCOR (IRAF.)

Po sfazowaniu obserwacji z Borowca i z satelity Hipparcos okazało sie że 
jest wyraźne przesunięcie minimum wtórnego co świadczyłoby o ruchu linii
apsyd. Minimum wtórne krzywej Hipparcosa ma większy rozrzut w fazie niż minimum pierwotne co
świadczy o tym że już w czasie obserwacji Hipparcosa (3.22 lat) można zauważyc
wpływ zmiany długości periastrum. 
Potwierdzenie ruchu linii apsyd znaleziono równierz w literaturze (Otero,
2005). Publikacja ta zawiera spis układów w których występuje ruch linii
apsyd stwierdzony na podstawie porównania obserwacji Hipparcosa oraz ASAS.

 



\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{V821_LC.eps}
\caption{Krzywe blasku V821 Cas w filtrach R oraz Hp. Krzywa Hp została
przesunięta w dół o 0.15 dla przejrzystości. Wyraźnie widać przesunięcie
fazowe minimum wtórnego.}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{V821_RV.eps}
\caption{Syntetyczne krzywe prędkości radialnych porównane z obserwacjami z
DDO. Linia ciągła pezentuje dopasowanie do obserwacji DDO oraz Borowca.
Linia przerywana pokazuje jak wyglądała krzywa RV w epoce obserwacji
satelity Hipparcos.}
\end{center}
\end{figure}


\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.55\textwidth]{V821_3d.eps}
\caption{Trójwymiarowy obraz układu w fazach 0.0 oraz 0.21.}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Wstępny model układu V821 Cas}
Ze względu na ruch linii apsyd do uzyskania pełnego modelu układu
najlepsze są równoczesne obserwacje fotometryczne oraz spektroskopowe. 
Ten warunek spełniają obserwacje z Borowca oraz DDO. Czas
pomiędzy tymi dwoma zestawami danych to tylko 100 dni.
Do modelowania wykorzystano program PHOEBE. Wykonano dwa
dopasowania, dla obserwacji z Borowca i DDO oraz oddzielnie dla Hipparcosa.
Wyniki tych dopasowań są zestawione w tabeli 3.14. 
Obserwacje z Borowca i DDO pozwoliły otrzymać wstępny kompletny model
układu.
W dopasowaniu dla danych Hipparcosa skorzystano z wartości $a$, $q$ oraz
$V_{\gamma}$ z dopasowania DDO oraz Borowca.
Oba wyniki są w dobrej zgodności. Długość periastron
$\omega$, zmieniła się
w ciągu tych prawie dziewięciu lat o $35^{\circ}$. 
Temperatura $T_1$ odpowiada wskaźnikowi barwy układu i była ustalona w trakcie
dopasowań. Dopasowano natomiast temperaturę $T_2$. 
Na rysunku 3.19 zostały pokazane dopasowane krzywe. Widać przesunięcie minimum
wtórnego oraz zmianę kształtu maksimów.  


\begin{table}[!h]
\caption{Wyniki modelowania dla układu V821 Cas. W drugiej kolumnie mamy
model oparty na spektroskopii z DDO oraz fotometrii w filtrze $I$. W
trzeciej kolumnie zestawiono wyniki z dopasowania do obserwacji z
Hipparcosa. Ostatnia kolumna zawiera różnice pomiędzy wynikami z kolumn 2 i
3. Dla długości węzła $\omega$ i przesunięcia fazowego $ph_{shift}$ (A),
różnica ta jest związana z ruchem linii apsyd pomiędzy dwiema epokami. 
Dla jasności składników $l_1$ i $l_2$ różnice podano ze znakiem. Z tych dwóch
wartości widać że składnik pierwszy ma większą jasność w filtrze $Hp$ a składnik
drugi w filtrze $I$ (B). Jest to w zgodzie z wyższą temperaturą składnika
pierwszego. Dla pozostałych parametrów ostatnia kolumna określa
różnice w dwóch dopasowaniach i może być traktowana jako 
niezależna miara błędu.}


\begin{center}
\begin{tabular}{cccc}
\hline
\hline
Parametr & Borowiec i DDO & Hipparcos & różnica\\
\hline

$e$        & $0.1334\pm0.0005$  & $0.120\pm0.008 $ &  0.013          \\
$\omega$   & $2.739\pm0.008$  & $2.126\pm0.049 $   &  $0.613^A$          \\
$ph_{shift}$  & $-0.0381\pm0.0001$  & $-0.0204\pm0.0007 $  & $ 0.0177^A$ \\
&&\\

$q$        & $0.816\pm0.001$  &            \\
$a($R$_{\odot})$&   $9.772\pm 0.127$     &  \\
$V_{\gamma}$        & $6.4\pm1.5$  &   \\

&&\\
$T_1$      &  $8510 K   $              & $ 8510 K$        \\
$T_2$      &  $7696  \pm 40 K$        & $ 7685\pm 40 K$  & 11K \\
$i$        & $80.70\pm0.03$  & $79.39\pm0.28$ &  1.31   \\
$\Omega_{\mathrm{1}}$ & 5.77     $\pm$ 0.01   & 5.63     $\pm$ 0.09 & 0.14\\
$\Omega_{\mathrm{2}}$ & 5.87     $\pm$ 0.01   & 5.48     $\pm$ 0.07 & 0.39\\
$l_1$      & $0.629\pm0.002$ & $0.650\pm0.009$ & $-0.021^B$\\
$l_2$      & $0.371\pm0.002$ & $0.350\pm0.009$ & $+0.021^B$\\
$x_{\mathrm{1,2}}$   & 0.29, 0.31 & 0.51, 0.53 \\
\\
$M_1$ &  $ 2.21 \pm0.09$ &  \\
$M_2$ &  $ 1.80 \pm0.08$ &   \\
$R_1$ &  $ 2.03 \pm0.04$ & $ 2.09\pm0.07 $& 0.06 \\
$R_2$ &  $ 1.73 \pm0.03$ & $ 1.89\pm0.05 $& 0.16 \\




\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

Dopasowanie syntetycznej krzywej blasku
do obserwacji z Borowca (filtr $I$) było kłopotliwe ze względu na
niekompletność krzywej. Z tego względu bardziej wiarygodne są wyniki 
dotyczące nachylenia i rozmiarów z dopasowania w filtrze $Hp$.
Rozmiary i masy obu składników świadczą o tym iż są to młode gwiazdy ciągu
głównego. 
Na podstawie modelu w tabeli 3.14 wyznaczono paralaksę. Dla promieni użyto
wartości z dopasowania w filtrze $Hp$ ze względu na kompletną krzywą. 
Obiekt znajduje się w odległości tylko 8 stopni pod płaszczyzną galaktyki.
Na podstawie pracy Burnsteina i Heilesa (1982) oszacowano E(B-V)=0.3 na
kiloparsek. Otrzymana paralaksa fotometryczna wynosi $4.1\pm0.3~mas$ 
($245\pm15pc$). Błąd oszacowano na podstawie błędów promieni i temperatur
składników z modelu. Błędy temperatur odpowiadają błędowi wyznaczenia B-V
układu czyli 0.02 ($\pm 150 K$).
Paralaksa trygonometryczna wyznaczona przez satelitę 
Hipparcos wynosi $5.38\pm0.91~mas$.    

W ostatecznym modelu powinny być uwzględnione poprawki temperatur na 
poczerwienienie. Nadwyżka barwy w przypadku V821 Cas jest bardzo wysoka.
Poprawka podwyższy temperatury nawet o 500K co da lepszą zgodność z 
typem widmowym A0 podanym w katalogu PPM. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%





\newpage
\section{GT UMa - układ potrójny?}
Układ GT UMa był obserwowany przez satelitę Hipparcos, który wykrył zaćmienia
zachodzące z okresem $1^d.16472$. Krzywa blasku układu posiada dwa minima
o małej różnicy głębokości. Paralaksa trygonometryczna wyznaczona przez
satelitę Hipparcos wynosi $8.18\pm1.69$ mas co odpowiada
odległości 122 pc. Kolejne obserwacje układu wykonali obserwatorzy w Słowenii
(Mikuz et al. 2004). Uzyskali oni dwie krzywe blasku w filtrach $B$ oraz
$V$, wyznaczyli momenty minimów i poprawili okres. Okres  wyznaczony
przez ten zespół to $1^d.164708\pm 0.000002$ a moment minimum głównego 
HJD=$245~2278.522\pm 0.002$. Określono również średnią wartość wskaźnika barwy
$B-V=0^m.36$ co odpowiada typowi widmowemu F2.
W tej pracy zwrócono również uwagę na to iż w katalogu Hipparcosa układ jest
sklasyfikowany jako wizualnie podwójny. W odległości 17.6" ~i kącie
pozycyjnym $266^{\circ}.4$ znajduje się obiekt słabszy o $2^m.6$ (GT UMa B) o tej
samej paralaksie co para zaćmieniowa. Autorzy pracy również zaznaczyli iż
satelita ROSAT obserwował źródło promieniowania X zgodne w granicach błędu
ze współrzędnymi GT UMa (odległość $5"\pm16"$).
W latach 2001-2002 zespół Toma Tomov oraz Ilian Iliev wykonał serię widm w
obserwatorium NAO Rozhen na 2m teleskopie. Obserwowano zakres w okolicy
8575\AA ~gdzie znajdują się trzy linie wapnia Ca II.
Zespół ten wykonał redukcje tych obserwacji i stwierdził że oprócz linii 
widmowych obu składników pary zaćmieniowej obserwujemy też mocną trzecią linię 
która sugeruje że układ może być potrójny (nie licząc odleglejszego składnika
wizualnego).
Autor niniejszej pracy, niezależnie od obserwatorów,
 pomierzył prędkości radialne w widmach dla trzech obiektów.
Przyjęto oznaczenia składników 1 i 2 dla pary zaćminiowej, 3 dla 
obiektu nie uczestniczącego w zaćmieniach zgodnie z notacją używanej w
metodzie WD.
Przy pomocy tej metody wyznaczono model pary zaćminiowej gdzie promieniowanie
pochodzące od trzeciego składnika było modelowane jako ,,trzecie światło''.            
Oprócz krzywych prędkości radialnych dla pary zaćmieniowej pomierzono
również
prędkości dla składnika trzeciego. 
Zmiany te maja małą amplitudę i są prawdopodobnie związane z blendingiem 
linii składników 2 i 3. 
W trakcie badania układu powstało mnóstwo pytań na które nie można
jednoznacznie odpowiedzieć na podstawie dostępnych obserwacji. 
Omówiono różne możliwe rozwiązania. 



\subsection{Pomiar prędkości radialnych} 

Wszystkie obserwacje spektroskopowe zostały wykonane w NAO Rozhen w zakresie
widmowym o szerokości około 200\AA~ i długości fali 8575\AA. 
Część widm została zredukowana przez T. Tomova. Pomiar prędkości radialnych
oraz redukcja reszty widm zostały wykonane przez autora niniejszej pracy.
Cały proces redukcji i pomiarów wykonano przy użyciu pakietu IRAF. 
W widmach linie są rozszczepione na trzy składowe. Główna 
składowa o prędkości radialnej około -40 km/s jest słabo zmienna.
Składnik który odpowiada za nią oznaczamy jako trzeci.
Po obu jej stronach są płytsze linie, które zamieniają się miejscami w
trakcie ruchu orbitalnego pary zaćmieniowej (składniki 1 i 2).  
Pierwotnie do pomiarów prędkości radialnych skorzystano z metody korelacji
skrośnej widm jednak duże zaszumienie oraz mała odległość składowych w
widmie powoduje mocne blendowanie pików. Filtracja fourierowska widm 
w celu wygładzenia szumu nie poprawia wyraźnie sytuacji.
Ostatecznie zdecydowano się na pomiar poszczególnych linii programem
RVIDLINES. Mierzono trzy mocne linie Ca II, które znajdują się w tym obszarze.
W celu zmniejszenia wpływu szumu pomierzono  widma sumowane parami gdy
były wykonywane jedno po drugim. Wyniki pomiarów prędkości pary zaćmieniowej są  
zestawione w tabeli 3.15.
Pomiary dla najjaśniejszego składnika (3) są zgodne dla obu metod z
dokładnością 1-2 km/s.
Zmiany prędkości radialnych mają amplitudę 17 km/s (Rys. 3.27). Korzystajac 
z programu do analizy okresowości wyznaczono okres zmian 23.42 d.
Jednak fazowanie tych zmian z okresem orbitalnym pary zaćmieniowej wykazuje
pewną zależność. W fazach od 0 do 0.5 mamy wyższe wartości niż w
fazach od 0.5 do 1 (Rys. 3.25). Przyczyną takiego efektu może być
blendowanie głównego piku (3) ze składnikiem drugim, który ma mniejszą
amplitudę zmian niż składnik pierwszy. Stosunek obu okresów wynosi około~20:1.
Możliwe jest również jednoczesne występowanie obu efektów.  
Zmiany z okresem 23.42 musimy traktować bardzo ostrożnie, okres ten jest
prawdopodobnie aliasem do okresu orbitalnego pary zaćmieniowej, lub efektem blendowania. 


  \begin{figure}
   \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{GT_widmo.eps}
      \caption{ 
Znormalizowane i wygładzone widmo GT UMa (ekspozycja 3x13 min.).
Widoczne są trzy składowe w każdej z trzech linii wapnia.}
   \end{figure}


  \begin{figure}
   \centering
    \includegraphics[angle=90,width=0.8\textwidth]{sgi21381.eps}
      \caption{Okno programu RVIDLINES.
Powiększony środkowy fragment widma z Rys 3.22, widać dopasowanie trzech
profili Gaussa.}  
   \end{figure}






\begin{table}[!h]
\caption{Prędkości radialne pary zaćmieniowej (1, 2).
\label{t1}}

\begin{center}
\begin{tabular}{cccccc}
\hline
\hline
HJD            & RV1           & $(O-C)_1$    & RV2       &  $(O-C)_2$ & faza \\
2450000+     & km~s$^{-1}$ & km~s$^{-1}$ & km~s$^{-1}$ & km~s$^{-1}$ &\\
\hline
1913.495681     &   44.9     & -0.1   &  -99.2   & 6.6     &  0.595\\
1920.558347     &   77.1     & -8.7   &  -150.0  & -12.2   &  0.659\\
1626.385732     &   -129.5   & -12.3  &  65.9    & 40.8    &  0.087\\
1972.467230     &   -196.4   & -14.4  &  64.3    & -16.2   &  0.227\\
2070.308487     &   -181.5   & 1.1    &  78.6    & -2.4    &  0.231\\
2266.550063     &   111.2    & 4.7    &  -138.8  & 15.7    &  0.721\\
2334.584792     &   -151.1   & -4.0   &  67.4    & 15.0    &  0.135\\
2413.341909     &   89.8     & -19.0  &  -150.1  & 6.2     &  0.754\\

\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{table}



\subsection{Model układu}
Do modelowania układu GT UMa zastosowano program PHOEBE. 
Wykorzystano obserwacje spektroskopowe z NAO Rozhen oraz fotometrię z
satelity Hipparcos w filtrze Hp.
Podstawowe trudności, które pojawiły sie w trakcie modelowania to 
brak bezpośredniej informacji o temperaturach składników, 
spowodowany faktem, iż światło obserwowane pochodzi z trzech źródeł. 
Na podstawie wstępnego modelu 
wyznaczono masy i promienie obu składników. Aby ,,odtworzyć'' układ 
skorzystano z wyników teorii ewolucji na podstawie której określono
temperatury składnika pierwszego dla zadanej masy i promienia. 
Temperatura składnika drugiego została dopasowana na podstawie różnicy
głębokości zaćmień z fotometrii.

Po zastosowaniu efemerydy z pracy Mikuz (2004) okazało się że obserwacje z 
satelity Hipparcos są źle sfazowane i przesunięcie fazowe wynosi około
0.006. 
Przyczyny mogą być dwie: zły okres lub moment zaćmienia głównego $T_0$. 
Z podanych błędów okresu i
$T_0$ wynika że prawdopodobnie okres został źle wyznaczony. Błąd okresu
powielony 3500 razy (liczba cykli pomiędzy obserwacjami) jest wiekszy niż
błąd $T_0$.  
Przyczyną tej niezgodności może być użycie przez autorów tylko 
poszczególnych minimów z fotometrii Hipparcosa 
które są źle obsadzone punktami. To przesunięcie jest jednak widoczne kiedy zfazujemy
wszystkie obserwacje. 
Przy pomocy programu PHOEBE udokładniono okres przyjmując moment minimum
głównego $245~2278.522\pm 0.002$. Poprawiona efemeryda to:

\begin{equation}
   \mathrm{Min~I~}=\mathrm{ HJD~ }2,452,278.522+1^d.1647098\cdot E
\end{equation}

gdzie niepewność okresu wynosi $5\times10^{-7}d$.


W układach zaćmieniowych w których mamy obecność trzeciego obiektu istnieje 
silna korelacja pomiędzy nachyleniem orbity i trzecim światłem.
Można dostać rodzinę rozwiązań dla których mamy dobrą zgodność z krzywą LC 
dla różnych par parametrów $i$ oraz $l_3$. Duże wartości $l_3$ powodują że
ilość światła biorącego udział w zaćminiach w stosunku do całości maleje 
i zaćmienia są płytsze. Efekt ten można nadrobić zwiększając nachylenie. 
Aby upewnić się czy uzyskany wynik jest prawidłowy wykonano kilka testów.
Określono maksymalną możliwą wartość $l_3=0.58$, która odpowiada nachyleniu orbity
$90^{\circ}$. Korzystamy z unormowania jasności $l_1+l_2+l_3=1$.
Większe wartości $l_3$ spowodowały by zbyt płytkie zaćmienia w krzywej syntetycznej.  
Prosty szacunek na podstawie głębokości linii 
(bez uwzględnienia typów widmowych)
sugeruje że trzeci składnik
emituje prawie 50\% swiatła w układzie (Tab. 3.17). Ten wynik posłużył jako
kontrola przeprowadzonego modelowania, dzieki niemu wiemy że nie popełniamy
grubego błędu przy wyznaczeniu $l_3$, które jest mocno skorelowane z
nachyleniem orbity.


\begin{table}[!h]
\caption{Porównanie głębokości linii widmowych z jasnościami składników z
modelu WD. Widma dają słabsze trzecie swiatło. Jednak
gwiazdy o wyższej tempetraturze maja płytsze linie co może wytłumaczyć tą różnicę.
W widmach różnica pomiędzy składnikami 1 i 2 jest większa niż w modelu WD.
Można to wytłumaczyc mocniejszym blendingiem
linii drugiego składnika z głównym pikiem co skutkuje większą głębokością (składnik
drugi  ma wiekszą masę i mniejszą amplitudę).}

\begin{center}
\begin{tabular}{cccc}
\hline
\hline
&widmo 1 & widmo 2  & PHOEBE\\
\hline

$l_1$& 0.179  & 0.201    & 0.210   \\
$l_2$& 0.343  & 0.328    & 0.269  \\
$l_3$& 0.478  & 0.470    & 0.516  \\


\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}




Po porównaniu otrzymanych mas i promieni z teorią ewolucji okazało się, że 
skladniki 
musiałyby znacznie różnić się wiekiem by pasować do ciągów ewolucyjnych.
Dla pierwszego mniej masywnego
składnika wyznaczono wiek 9 mld. lat a dla składnika drugiego 5 mld. lat.
Zakładając że trzeci składnik należy do układu
(przemawia za tym zgodny kierunek na sferze oraz zbliżona prędkość
radialna),
możemy oszacować jego
temperaturę na podstawie wskaźnika barwy układu. Temperatura trzeciego
składnika powinna być większa niż 7000K (temperatura ta odpowiada
wskaźnikiowi barwy układu B-V=0.35). Wnioskujemy to z faktu mieszania 
światła tego składnika z parą zaćmieniową która jest chłodniejsza.
Gwiazda o takiej temperaturze na c.g. posiada masę rzędu 1.5 $M_{\odot}$.
Czas życia takiej gwiazdy nie przewyższa 3 mld. lat co dodatkowo skomplikowało
obraz (przyjmując że składnik 3 jest częścią układu).

Dla składników pary zaćmieniowej taki wiek oznaczałby że są one na ciągu głównym lub są
nieznacznie odewoulowane. Ich promienie nie powinny przekraczać 
$R_1=1.1 R_{\odot}$ oraz $R_2=1.6 R_{\odot}$, odpowiadającym 
gwiazdom o masach 1.05 i 1.28  $M_{\odot}$ w 
wieku 3 mld. lat. Teperatury takich gwiazd na c.g. wynoszą odpowiednio 5900 i
6200 K. 


Tak dużych różnic wieku (promieni) nie można wytłumaczyć niepewnością wyników
spowodowaną zaszumieniem danych. Wytłumaczenie tych różnic zaproponował J. Ziółkowski. 
Ewolucja mogła przebiegać szybciej jeżeli składniki początkowo miały
większą masę. Utrata masy mogła nastąpić na skutek intensywnego wiatru 
gwiazdowego co jest możliwe dla tak krótkich okresów orbitalnych.
Skutkiem takiej ewolucji układu mielibyśmy dzisiaj składniki o zbyt dużych
promieniach, czyli sytuację, którą obserwujemy w GT UMa.



  \begin{figure}
   \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{GT_LC.eps}
      \caption{ Porównanie syntetycznej krzywej dla GT UMa oraz obserwacje
wykonane perzez satelite Hipparcos.}
   \end{figure}

  \begin{figure}
   \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{RV_GT.eps}
      \caption{ Krzywe prędkości radialnych dla GT UMa. Linie ciągłe
prezentują wynik dopasowania a obserwacje spektroskopowe pary zaćmieniowej
oznaczono symbolem $\bigcirc$. Linia przerywana odpowiada średniej
prędkosci trzeciego składnika a pomiary jego prędkości oznaczono symbolem
$\bigtriangledown$. Liczba tych punktów jest większa ponieważ  dla składników 1 i 2  
mierzono widma sumowane jak również niektóre pomiary w okolicach faz zero i
1/2 nie były możliwe ze względu na nakładanie się linii.
Symbolem $\times$ oznaczono obserwacje składnika 2 których nie użyto w
dopasowaniu. Jeżeli jednak przyszłe obserwacje potwierdzą tak wysoki efekt
Rossitera może to oznaczać że składnik 2 rotuje asynchronicznie. Podobny
efekt można uzyskać również dla większego nachylenia.} 
   \end{figure}


 \begin{figure}
   \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{3d_GT.eps}
      \caption{Trójwymiarowy obraz ukladu - zaćmienia są prawie calkowite.}
   \end{figure}



\begin{table}[!h]
\caption{Model GT UMa uzyskany na podstawie obserwacji spektroskopowych z
tab. 3.16 oraz obserwacji satelity Hipparcos w filtrze $Hp$.}


\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\hline
\hline
           & składnik 1 & składnik 2 \\
\hline

$i$        & \multicolumn{2}{c}{ $84^{\circ}.7\pm0^{\circ}.4$ }   \\
$q$                 & \multicolumn{2}{c}{ $1.225\pm0.021$   }  \\
$a($R$_{\odot})$    & \multicolumn{2}{c}{ $6.17\pm0.20$    }  \\
$V_{\gamma} $        & \multicolumn{2}{c}{ $-37.3\pm3.7$~km\cdot s^{-1}    }\\
$V_{3} $        & \multicolumn{2}{c}{ $-41.0\pm1.0$~km\cdot s^{-1}    }\\

&&\\
$T_{1,2}$      &  $5460 K   $              & $ 5370\pm10 K$        \\

$\Omega_{\mathrm{1,2}}$ & 4.91     $\pm$ 0.11   & 4.76     $\pm$ 0.09 \\

$l_{1,2}$      & $0.215\pm0.010$ & $0.269\pm0.012$ \\
$l_3$          & \multicolumn{2}{c}{0.516\pm0.010 }  \\  
\\
$x_{\mathrm{1,2}}$   & 0.66 & 0.67 \\
$g_{\mathrm{1,2}}$   & \multicolumn{2}{c}{ $0.32$    } \\
$A_{\mathrm{1,2}}$   & \multicolumn{2}{c}{ $0.5$   } \\

&&\\
$M_{1,2}$      &  $ 1.05\pm0.11 $ & $ 1.28\pm0.13 $ \\
$R_{1,2}$      &  $ 1.70\pm0.12 $ & $ 1.99\pm0.15 $ \\
$M_{bol_{1,2}}$   &  $ 3.88 $ & $ 3.61 $ \\
$log(g_{1,2})$ &  $ 4.00 $ & $ 3.95 $ \\

\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}



Uzyskany wstępny model układu zawiera mnóstwo zgrubnych szacunków i założeń
których poprawność niesposób zweryfikować korzystając z istniejących
obserwacji. Między innymi nie mamy pewności co do tego że trzeci składnik
należy do układu i nie jest gwiazdą tła.
Na podstawie niniejszego modelu wyznaczono odległość metodą paralaksy
fotometrycznej. Z powodu małej odległości układu i dużej szerokości
galaktycznej ($+47^{\circ}$) zaniedbano ekstynkcje.
Paralaksę fotometryczną wyznaczono na podstawie temperatur i promieni 
składników pary zaćmieniowej z tabeli 3.18 oraz przyjmując 
że jasność $M_V$ trzeciego składnika odpowiada wskaźnikowi B-V układu.
W ostatnim założeniu przyjmujemy że składnik trzeci jest gwiazdą ciągu
głównego i nie uwzględniamy mieszania światła trzech składników.
Mimo daleko idących założeń i szacunków wynik zgadza się dobrze z paralaksą 
wyznaczoną przez satelitę Hipparcos.
Otrzymano wartość $\pi=8.3~mas~ (120pc)$. Wynik Hipparcosa wynosi $\pi=8.18
~mas~(122pc)$. Oczywiście tak dobra zgodność jest przypadkowa biorąc pod uwagę
przyjęte założenia i szacunki.

Dobrą zgodność paralaks możemy jednak potraktować jako słabą przesłankę o tym że
nasze szacunki i założenia nie odbiegają znacząco od rzeczywistości oraz
że trzeci składnik jest fizycznie związany z
układem zaćmieniowym lub znajduje się w małej odległości od
niego. 
Dodatkowym argumentem że składnik trzeci należy do układu to fakt iż jego
średnia prędkość radialna ($-41\pm1~km/s$) jest bardzo zbliżona do prędkości pary
zaćmieniowej (są zgodne w granicach błędu).


%Promienie składników pary zaćmieniowej mogły być 
%znacznie przeszacowane na skutek wiatrów które unoszą materie gwiazdową,
% zjawisko 
%%typowe dla układów RS Cvn. Jeżeli przyjmiemy takie wytłumaczenie
%oznaczać to będzie że oba skladniki mają mniejsze rozmiary i wyższą
%temperaturę. 
%Przyjmując że trzeci składnik należy do układu możemy przyjąć że wiek układu
%musi być mniejszy niż 3 mld. lat. 
%


%Powstaje problem związany z różnicą temperatur $\Delta T$ wyznaczona metodą
%WD na podstawie fotometrii z Hipparcosa. Model wskazuje na to że składnik
%pierwszy, lżejszy, posiada wyższą temperatuurę o około 90 K.
%Taką sytuacje możnaby wytłumaczyć dopiero w późniejszych stadiach ewolucji 
%w których składnik drugi ewoluowałby szybciej i obniżył by temperature
%poniżej temperatury składnika pierwszego. Jednak taka sytuacja może nastąpić dopiero
%po około 4 miliardach lat.
%Alternatywnie możemy przypuścić że wiatry które wytworzyły otoczke wokół obu
%składników powodują oprucz przeszacowania promieni równierz błędny pomiar
%różnicy temperatur.

\subsection{Trzeci składnik układu}


 \begin{figure}
   \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{RV3.eps}
      \caption{Zmiany prędkości radialnej trzeciego składnika z okresem 23.42d. }
   \end{figure}


 \begin{figure}
   \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{LC3.eps}
      \caption{Zminy jasności GT UMa poza zaćmieniami zfazowane z okresem 23.42d. }
   \end{figure}


Nasza wiedza o trzecim składniku układu jest dosyć ograniczona. 
Wiemy na podstawie modelu WD
że składnik daje 52\% światła układu w filtrze Hp. Ten wynik jest w dobrej
zgodności z głębokościami linii widmowych trzech składników.
Chronologicznie pierwsze wyniki dotyczące zmian prędkości radialnych
trzeciego składnika uzyskano przy użyciu programu do szukania okresowych zmian.
Najlepszy uzyskany okres wyniósł 23.42d. Widmo mocy świadczy o tym że wynik
ten jest bardzo niepewny.
Po zfazowaniu prędkości trzeciego składnika z okresem orbitalnym pary
zaćmieniowej okazało się ze jest wyraźna korelacja tych punktów z
prędkościami składnika drugiego (Rys. 3.25). Przyczyną tego efektu jest
prawdopodobnie silne zblendowanie linii składników 2 i 3 (Rys. 3.23).  
Widocznie okres 23.42d jest po prostu aliasem do zmian związanych z 
blendą, która zmienia zmierzone położenia linii trzeciego składnika z okresem
orbitalnym pary zaćmieniowej.
 
Zanim to wytłumaczenie zostało przyjęte wykonano kilka testów 
dotyczących okresu 23.42d i możliwych jego przyczynach.
Rozważania te przytoczono poniżej. 

Amplituda zmian prędkości radialnych trzeciego składnika wynosi około 17
km/s. Pierwsza rozpatrywana przyczyna tych zmian to wzajemny ruch
orbitalny  trzeciego składnika wokół pary zaćmieniowej. Możliwość tą
odrzucono ponieważ takie amplitudy i okres świadczyłyby o masach rzędu
setnych części masy Słońca. Aby sprawdzić czy środek mas pary zaćmieniowej
porusza się wyznaczono prędkość układu dla ośmiu widm w których rozdzielono
wszystki trzy składniki (skorzystano z stosunku mas z modelu WD).
Nie znaleziono jednak wyrażnych zmian okresowych.
Jeżeli jednak takie zmiany istnieją powinny mieć amplitudę poniżej 10 km/s (takiego
rzedu jest rozrzut punktów). 
Duży rozrzut punktów w krzywych RV 1 i 2 może być związany ze
zblendowaniem i zaszumieniem ale również z przesuwaniem się środka mas pod
wpływem trzeciej masy.

Kolejną możliwą przyczyną zmian prędkości radialnej trzeciego składnika
stanowi możliwość że gwiazda jest cefeidą. Jednak taki długi okres
oznaczałby bardzo dużą masę i jasność co jest sprzeczne z obserwowanymi
głębokościami linii widmowych oraz wynikiem modelu WD.
Dodatkowo  obserwacje z Hiparcosa, pomijając zaćmienia, zfazowano z okresem
23.42 (Rys. 3.28), dane nie wykazują 
zauważalnych zmian jasności poza zaćmieniami. 
Szukano również bezskutecznie innych zmian okresowych.

Kolejnym przypuszczeniem tłumaczącym ruch trzeciego składnika to możliwośc
że jest on również gwiazdą podwójną w której obserwujemy tylko składnik
główny (SB1).   

Aby roztrzygnąć wszystkie powstałe pytania wokół układu GT UMa potrzebne są
dodatkowe obserwacje. Na podstawie widm o wysokiej rozdzielczości i wysokim
stosunku sygnału do szumu w okolicy faz 0.25 i 0.75 można określić typy widmowe
trzech składników na podstawie głębokości charakterystycznych linii.
Takie widma pozwoliłyby równierz określić dokładniej masy składników pary
zaćmieniowej.  
Wielobarwne obserwacje fotometryczne o mniejszym rozrzucie, pozwoliłyby
udokładnić model. Mielibyśmy równierz dodatkową informacje o temperaturze trzeciego
składnika (z modelu WD - $l_3$ w różnych filtrach). W głębokościach zaćmień
obserwowanych w
różnych filtrach jest zawarta informacja o temperaturach pary zaćmieniowej.
Aby sprawdzić czy trzeci składnik wpływa na ruch orbitalny pary zaćmieniowej
można zbadać o-c obserwacji fotometrycznych dla wszystkich obserwowanych cykli, obserwacje Hipparcosa
są zbyt zaszumione do tego celu.

%Z obserwacji satelity Hipparcos znamy paralaksę trygonometryczną. Znając
%odległość, otrzymany model możemy skonfrontować z struminiem światła
%który obserwujemy. 


\subsection{Nowe obserwacje fotometryczne w filtrze $R$}

W maju 2006 roku K. Kamiński uruchomił w Borowcu mały automatyczny teleskop
Newtona (MTF, Maly Teleskop Fotometryczny). W trakcie testów teleskopu i
oprogramowania do redukcji obserwacji,
K. Kamiński wykonał cztery serie obserwacji w filtrze $R$ układu GT UMa.
Rysunek 3.29 przedstawia wstępną redukcje tych obserwacji porównana z
uzyskanym
na bazie fotometrii Hipparcosa modelem (Tab. 3.18). Dopasowano tylko
parametry zależne od długości fali ($l_1$, $l_2$, $l_3$ - w filtrze $R$),
których nie znamy z dopasowania w filtrze $Hp$.
Zgodność jest dobra, biorąc pod uwagę rozrzut punktów
dla krzywej Hipparcosa na podstawie której wyznaczono model.
Ważną informacją jest zgodność w
stopniu
zakrzywienia maksimów obu krzywych. Potwierdza to anomalnie duże promienie
obu składników pary zaćmieniowej. Krzywa Hipparcosa daje wątpliwy wynik ze
względu na duży rozrzut.
Po ukończeniu obserwacji i ostatecznej redukcji, stosując kilka gwiazd
porównania, minimalizując w ten sposób ekstynkcje różnicową,
krzywa zostanie użyta do udokładnienia modelu układu GT UMa.

\begin{figure}
   \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{j-R.eps}
      \caption{Wstępna redukcja krzywej blasku GT UMa w filtrze $R$
wykonanej (i zredukowanej) przez K.
Kamińskiego w Borowcu na 20 cm teleskopie Newtona. 
Linia ciągła przedstawia dopasowany model układu a punkty - obserwacje w filtrze $R$.
Obie krzywe wykazują
dobrą zgodność, jedynie w fazie 0.9 mamy przesunięcie w pionie. Jest to
spowodowane tym że teleskop i oprogramowanie są dopiero w fazie testowej
jak również z faktu iż były stosowane różne gwiazdy porównania. Dochodzi
tutaj również efekt ekstynkcji różnicowej.
W fazie 0.4 mamy inne nachylenie krzywej obserwowanej - różnica może
być spowodowana dużym zaszumieniem krzywej $Hp$ na podstawie której powstał
model tutaj porównywany.
}
   \end{figure}

 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%







\chapter{Zakończenie}
  
\section{Podsumowanie}

Niniejsza praca dotyczy określenia parametrów niektórych układów
rozdzielonych poczynając od własnych obserwacji a na dyskusji statusu
ewolucyjnego i paralaksy fotometrycznej kończąc.
Przy tym podstawowe obserwacje na których jest ona oparta, to własne krzywe
prędkości radialnych. Podstawową  metodą analizy były symulacje/dopasowania 
modelu współczesną wersją metody Wilsona-Devinney'a (1971).

\vspace{3mm}
Otrzymane krzywe blasku w projekcie ASAS 3 są posortowane według typów ED, ESD
oraz EC.
Kryterium  selekcji kandydatów na układy rozdzielone 
były wąskie zaćmienia o zbliżonej głębokości. Uzyskane modele 
potwierdziły rozdzieloną nature wybranych układów. 

Zademonstrowano, że obserwacje fotometryczne umiarkowanej jakości, pochodzące 
z małych instrumentów wraz ze spektroskopią wykonaną na 2m teleskopie lecz 
ze spektrografem o małej efektywności, pokrywającym zaledwie
200 \AA, wystarczą do wykonania rozsądnej analizy układów rozdzielonych.   
Nowoczesnym spektrografem echelle te same rezultaty można osiągnąć z
teleskopem rzędu 0.5m (Rozdział 2.3.2, str. 60).

W celu weryfikacji naszych rozwiązań dla dwóch najlepiej zbadanych układów
sprawdzono ich zgodność z ciągami ewolucyjnymi i
izochronami dla odpowiednich mas (Rozdziały 3.2 oraz 3.3).

Pokazano, że w układach zaćmieniowych o składnikach elipsoidalnych 
można uzyskać przybliżone rezultaty bez korzystania ze stosunku mas $q$ 
ze spektroskopii.

Użyte obserwacje okazały się wystarczające do rozwiązania układów oraz
stwierdzenia ich statusu ewolucyjnego. Natomiast uzyskane paralaksy są
obciążone ekstynkcją.
Dla uniknięcia tego problemu są potrzebne jasności 
podczerwone układów przynajmniej w kilku fazach.
Szczegółowe krzywe nie są niezbędne ponieważ promienie składników zostały
już wyznaczone w niniejszej pracy.    

\vspace{3mm}
Omówiono cztery modele układów które dotychczas nie były
zbadane. 
Pierwsze układy zaćmieniowe do badań wybrano spośród obiektów zaobserwowanych przez
polski program poszukujący gwiazdy zmienne ASAS (All Sky Automated Survey). 
Autor wykonał pierwsze obserwacje spektroskopowe dla dwóch dotychczas
niezbadanych ukladów IO Aqr oraz BD-003357. Obserwacje te wykonano w NAO
Rozhen na 2~m teleskopie we współpracy z D. Kolewem. Dodatkowe obserwacje 
wykonał P.Ligęza w obserwatorium DDO w Kanadzie.
Układy zaćmieniowe DV Boo oraz GT UMa były obserwowane przez I. Iliev
na 2m teleskopie w Rozhen. 
Obserwacje spektroskopowe układu V821 Cas wykonał P.Ligęza w DDO.

\vspace{3mm}
Nowe obserwacje fotometryczne oraz spektroskopowe wraz z fotometrią 
ASAS pozwoliły wyznaczyć parametry orbitalne oraz fizyczne układu BD-003357.   
Uzyskane rozwiązanie świadczy o tym że układ jest młody i należy do populacji I.
Na podstawie modelu wyznaczono po raz pierwszy odległość układu.
Stosunkowo mała odległość 310 pc, jasność ~10 mag oraz nieskomplikowana fizyka
powodują iż układ jest dobrym celem dla współczesnych przeglądów 
trygonometrycznych (e.g. GAIA).   

Porównanie modelu z ciągami ewolucyjnymi pokazuje systematyczne przesunięcie.
Podstawowym źródłem tego przesunięcia jest niepewność w wyznaczeniu
wskaźnika barwy układu. 
Wyniki dopasowań wskazują na to że układ jest młody, ma on około 1 mld. lat, 
oznacza to że metaliczność może byc wyższa niż założona 0.02.
Wyższa metaliczność powoduje przesunięcie składników na wykresie
ciągów ewolucyjnych. Metaliczność rzędu 0.03 daje dobra zgodność 
z ciągami ewolucyjnymi. Jest to alternatywne wytłumaczenie 
tego przesunięcia systematycznego.

\vspace{3mm}
Model IO Aqr przedstawia układ dwóch składników o bardzo podobnych
masach i promieniach. Model ten oparto na obserwacjach spekrtoskopowych 
głównie z NAO Rozhen oraz na fotometrii z ASAS 2. 
Krzywą blasku jest bardzo dobrze określona mimo dużego rozrzutu
indywidualnych punktów pomiarowych, dzięki dużej liczbie obserwacji.
Oba składniki zbliżają się do punktu odejścia z c.g. (TAMS).
Otwiera to potencjalną możliwość do zastosowania układu do
różnicowych testów ciągów ewolucyjnych w okolicach TAMS gdzie modele są 
wrażliwe na parametry składników.
Otrzymano dwa rozwiązania metodą WD jednak jedno z nich okazało się
niezgodne z ciągami ewolucyjnymi. Drugie rozwiązanie wykazuje dobrą zgodność z
ciągami ewolucyjnymi oraz bardzo dobrą zgodność wieku obu składników.  

\vspace{3mm}
Układ V821 Cas również nie posiada modelu i obserwacji spektroskopowych z
literatury. Fotometria z Borowca oraz z satelity Hipparcos pozwoliła na
potwierdzenie rotacji linii apsyd.
Wykonano dwa dopasowania, pierwsze  dla fotometrii z Borowca oraz spektroskopii z
DDO, drugie dla obserwacji fotometrycznych z satelity Hipparcos.
Dwa dopasowania pozwalaja nam porównać różnice dopasowań z błędami
wynikającymi z dopasowań.
Masy i rozmiary składnikow świadczą o tym że jest to młody układ ciągu
głównego.

\vspace{3mm}
Układ GT UMa jest sklasyfikowany w katalogu Hipparcosa jako wizualnie
podwójny. Towarzysz układu (GT UMa B) znajduje się w odległości kątowej 17.6".
Krzywa blasku GT UMa wykazuje zaćmienia o porównywalnych głębokościach.
Oznacza to że układ jest potrójny. Obserwacje spektroskopowe zespołu I. Iliev i T.Tomov
pokazały że w widmach GT UMa A widzimy linie od pary zaćmieniowej i
również mocne linie obiektu nie uczestniczącego w zaćmieniach, o słabej
zmienności prędkości radialnych.
Oznacza to że układ zawiera cztery składniki.
Niemniej dowody na fizyczny związek pary zaćmieniowej z parą wizualną 
nie są silne.
Przyjęto oznaczenia 1,2 dla pary zaćmieniowej i 3 dla obiektu
odpowiadającego za trzecią składową.
Otrzymany model układu świadczy o tym iż jego ewolucja nie przebiegała
w sposób typowy. Są przesłanki wskazujące na to że układ tracił masę we
wczesnych etapach swojego życia. Takie wytłumaczenie zasugerował J.
Ziółkowski. 
Mimo dużej ilości daleko idących założeń i szacunków, zwłaszcza dotyczących 
trzeciego składnika wyznaczono odległość, która jest w dobrej zgodzie z 
wynikiem Hipparcosa.



%=====================
%Pierwszy badany uklad, IO Aqr, okazał się wyraźnie odewoulowanym układem
%zbliżający się do końca stadium ciągu głównego.
%Wyniki modelowania zostały opublikowane w roku 2004 w \emph{Astronomy \&
%Astrophysics}.  
%
%Kolejny badany obiekt, dla którego pierwszą krzywą blasku
%uzyskał ASAS, zidentyfikowano jako BD-003357.   
%
%Modele dla czterech niezbadanych układów.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%\addcontentsline{toc}{chapter}{\protect\numberline{}{Literatura}}


%\begin{thebibliography}{}
%\markright{LITERATURA}
%\bibitem{}
%        {\sc Abramowitz, M. Stegun, I. (ed.)} 1964.
%        Handbook of Mathematical Functions with formulas, graphs and
%        mathematical tables


\newpage
\section{Literatura}


\bibitem{} {\sc Bailey, J.:} {\bf 1981}, MNRAS, {\bf 197}, 31

\bibitem{} {\sc Barbuy, B.:} {\bf 2003}, A\&A, {\bf 404}, 661-668

\bibitem{} {\sc Binney, J., \& Merrifield, M.:} {\bf 1998} in (Ed.) J.
Ostriker and D. Spergel, Galactic a Princeton University Press.

\bibitem{} {\sc Burstein, D., \& Heiles, C.:}  {\bf 1982}, AJ, {\bf 87}, 1165B

\bibitem{} {\sc Carquillat, J.-M., Prieur, J.-L., Ginestet, N., Oblak, E.,
\& Kurpińska-Winiarska, M.:} {\bf 2004}, MNRAS, {\bf 352}, 708

\bibitem{} {\sc Cernis, K.:} {\bf 1986}, Vilnius Astron. Obs. Biul., {\bf 75}, 31

\bibitem{} {\sc Chandrasekhar, S.:} {\bf 1946}, ApJ, {\bf 103}, 351-370

\bibitem{} {\sc Cox, A.:} {\bf 1999}, Allen's Astrophysical Quantities. Springer.

\bibitem{} {\sc Devor, J.:} {\bf 2005}, ApJ, {\bf 628}, 411

\bibitem{} {\sc Dimitrov, W., Kolev, D., Schwarzenberg-Czerny, A.:} {\bf 2004}, A\&A,
{\bf 417}, 689

\bibitem{} {\sc Dimitrov, W., Kolev, D., Ligęza, P., Schwarzenberg-Czerny, A.:}
{\bf 2006}, przyjęta do druku w {Astronomische Nachrichten} 

\bibitem{} {\sc Gimenez, A.,\& Zamorano, J.:} {\bf 1985}, Ap\&SS, {\bf 114}, 259G


\bibitem{} {\sc Hall, D. S.:} {\bf 1996}, in (Ed.) C. Sterken and C.
   Jashek, Light curves of variable stars -
   A pictorial atlas. Cambridge University Press.

\bibitem{} {\sc Hill, Graham; Hutchings, J. B.:} {\bf 1970}, ApJ, {\bf 162}, 265H

\bibitem{} {\sc Josef Kallrath, Eugene F. Milone:}
Springer; 1 edition (July 1, {\bf 1999})
Eclipsing Binary Stars : Modeling and Analysis


\bibitem{} {\sc Kim, Y., Demarque, P., Yi, S., Alexander, D.:} {\bf 2002}, ApJS, {\bf 143},
499

\bibitem{} {\sc Kopal, Z.:} {\bf 1959}, Close binary systems, Chapman \& Hall, London

\bibitem{} {\sc Kruszewski, A. \& Semeniuk, I.:} {\bf 1999}, Acta Astronomica {\bf 49}, 561.

\bibitem{} {\sc Kubiak, M.:} {\bf 1994}, PWN, Gwiazdy i materia międzygwiazdowa

\bibitem{} {\sc Kurucz, R. L.:} {\bf 1979}, ApJ Suppl. {\bf 40}, 1-340.

\bibitem{} {\sc Lada, Charles J.:} {\bf 2006}, ApJ, {\bf 640L}, 63L.

\bibitem{} {\sc Lacy, C. H. S., Torres, G., Claret, A., Vaz,
L. P. R.:} {\bf 2005}, AJ, {\bf 130}, 2838L


\bibitem{} {\sc Lang, K. R.:} {\bf 1978}, Astrophysical Formulae. Springer-Verlag.

\bibitem{} {\sc Lastennet, E., Fernandes, J., Valls-Gabaud, D., Oblak, E.:} {\bf 2003},
A\&A, {\bf 409}, 611


\bibitem{} {\sc Lucy, L. B.:} {\bf 1968}, ApJ, {\bf 151}, 1123L


\bibitem{} {\sc Marrese, P.~M., Munari, U., Siviero, A., Milone, E.~F., Zwitter,
T., Tomov, Boschi, F., \& Boeche, C.:} {\bf 2004}, A\&A, {\bf 413}, 635

\bibitem{} {\sc Marquardt, D.:} {\bf 1963}, SIAM J. Appl. Math. {\bf 11}, 431-441

\bibitem{} {\sc Mazeh et al.:} {\bf 2002}, ApJ, {\bf 564}, 1007

\bibitem{} {\sc Mochnacki, S. W., Doughty, N. A.:} {\bf 1972}, MNRAS, {\bf 156}, 243M

\bibitem{} {\sc Munari, U. et al.:} {\bf 2001}, A\&A, {\bf 378}, 477-486

\bibitem{} {\sc Paczyński, B.:} {\bf 1997}, The Extragalactic Distance Scale, 273

\bibitem{} {\sc Perryman, M.A.C, et al.:} {\bf 1997}, A\&A, {\bf 323}, 49

\bibitem{} {\sc Plewa, T.:} {\bf 1992}, Acta Astronomica, {\bf 38}, 415

\bibitem{} {\sc Plewa, T.:} {\bf 1988}, Acta Astronomica, {\bf 42}, 103

\bibitem{} {\sc Plewa, T.:} {\bf 1993}, MINGA - User's Manual

\bibitem{} {\sc Pojma\'nski, G.:} {\bf 1997}, Acta Astronomica, {\bf 47}, 467

    {\verb+ http://archive.princeton.edu/~asas/+}

\bibitem{} {\sc Pojma\'nski, G.:} {\bf 2004}, AN, {\bf 325}, 553

\bibitem{} {\sc Popper, D.~M.:} {\bf 1997}, AJ {\bf 114}, 1195

\bibitem{} {\sc Popper, D.~M.:} {\bf 1998}, AJ, {\bf 115}, 338

\bibitem{} {\sc Prša, A., Zwitter, T.:}  {\bf 2005a}, ApJ, {\bf 628}, 426P

\bibitem{} {\sc Prša, A., Zwitter, T.:}  {\bf 2005b}, Ap&SS, {\bf 296}, 315P

\bibitem{} {\sc Prša, A.:} {\bf 2002}, Phoebe tutorial

\bibitem{} {\sc Russell, Henry Norris; Merrill, John Ellsworth:} {\bf 1952},
Eclipsing binary Stars, orbital elements, determination


\bibitem{} {\sc Ruciński, S. M.:} {\bf 1993}, PASP, {\bf 105}, 1433R

\bibitem{} {\sc Ruciński, S. M.:} {\bf 2004}, IAUS, {\bf 215}, 17R

\bibitem{} {\sc Stellingwerf, R. F.:} {\bf 1978}, ApJ, {\bf 224}, 953.

\bibitem{} {\sc Torres, G., \& Ribas, I.:} {\bf 2002}, ApJ, {\bf 567}, 1140

\bibitem{} {\sc Van Hamme, W.:} {\bf 1993}, AJ. {\bf 106},

\bibitem{} {\sc Vogel, H. C.:} {\bf 1901}, ApJ, {\bf 13}, 324V 

\bibitem{} {\sc Wade, R. A., \& Ruciński, S. M.:} {\bf 1985}, A\&AS, {\bf 60}, 471

\bibitem{} {\sc Wilson, R. E., \& Devinney, E. J.:} {\bf 1971}, ApJ, {\bf 166}, 605

\bibitem{} {\sc Wood, D. B.:} {\bf 1971}, PASP, {\bf 83}, 286W

\bibitem{} {\sc Zahn, J.-P.:} {\bf 1975}, A&A, {\bf 41}, 329Z

\bibitem{} {\sc Zahn, J.-P.:} {\bf 1977}, A&A, {\bf 57}, 383Z

\bibitem{} {\sc Zucker, S.:} {\bf 2004}, ASPC, {\bf 318}, 77Z

\bibitem{} {\sc Zwitter, T.} et al.: {\bf 2003}, A&A, {\bf 404}, 333Z 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%NOWE!!!



% 2005ApJ...628..426P	
%	Prša, A.; Zwitter, T.	
%	A Computational Guide to Physics of Eclipsing Binaries. I.
%Demonstrations and Perspectives
%


% 2005Ap&SS.296..315P	
%	0.769	04/2005	A      E          X                      R  C
%U          
%	Prša, A.; Zwitter, T.	
%     	Influence of Interstellar and Atmospheric Extinction on Light Curves
%of Eclipsing Binaries



% 2005tdug.conf..611P	
%	0.769	01/2005	A          F  G  X              T      R  C
%U          
%	Prsa, A.; Zwitter, T.	
%	Introducing Adapted Nelder & Mead's Downhill Simplex Method to a
%Fully Automated Analysis of Eclipsing Binaries






%2006ApJ...640L..63L Stellar Multiplicity and the Initial Mass Function: Most
%Stars Are Single 	
%	Lada, Charles J.

%1901ApJ....13..324V  Vogel - podwójność MIzara

	
%	Russell, Henry Norris; Merrill, John Ellsworth
%ECLIPSING BINARY STARS, ORBITAL ELEMENTS, DETERMINATION
%	1952deeb.book.....R


%Eclipsing Binary Stars : Modeling and Analysis
%Josef Kallrath, Eugene F. Milone
%Springer; 1 edition (July 1, 1999)

%Zahn, J.-P.
%1975A&A....41..329Z
%The dynamical tide in close binaries  <str.11>
%1977A&A....57..383Z
%Tidal friction in close binary stars


%        Lacy, Claud H. Sandberg; Torres, Guillermo; Claret, Antonio; Vaz,
%Luiz Paulo Ribeiro
%        2005AJ....130.2838L


%        Torres, Guillermo; Ribas, Ignasi
%2002ApJ...567.1140T


%Eclipsing Binaries in the Bulge Fields of OGLE II Using DEBiL
%Authors:        J. Devor
%2005ApJ...628..411D












%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\newpage
\section{Dodatki}
\vspace{1cm}
\subsection{Przydatne adresy stron internetowych}

\vspace{1cm}

\emph{~~~~~Przeglądy nieba - krzywe blasku} \\
All Sky Automated Survey - \verb+ http://archive.princeton.edu/~asas/+ \\
The Optical Gravitational Lensing Experiment - \verb+ http://ogle.astrouw.edu.pl/+ \\
Hipparcos light curves - \verb+ http://www.rssd.esa.int/Hipparcos/lightCurve/23743.html+ \\

\vspace{1cm}

\emph{Programy do modelowania}  \\
Wilson Devinney - \verb+ ftp://ftp.astro.ufl.edu/pub/wilson/lcdc2003+ \\
MINGA - \verb+ http://flash.uchicago.edu/~tomek/codes/Minga/+         \\
PHOEBE - \verb+ http://www.fiz.uni-lj.si/phoebe/+ \\
Binary Maker - \verb+ http://www.binarymaker.com/+ \\
Nightfall - \verb+ http://www.hs.uni-hamburg.de/DE/Ins/Per/Wichmann/Nightfall.html+ \\

\vspace{1cm}

\emph{Bazy danych i katalogi}  \\
SIMBAD - \verb+ http://cdsweb.u-strasbg.fr/Simbad.html+  \\
VIZIER - \verb+ http://vizier.u-strasbg.fr/ + \\
NOMAD - \verb+ http://www.nofs.navy.mil/data/fchpix/+  \\
CALEB (katalog modeli) - \verb+ http://caleb.eastern.edu/+

\emph{}



\newpage
\subsection{Oznaczenia stosowane w programach MINGA i PHOEBE}


\begin{table}[!h]
\caption{Parametry opisujące układ podwójny w metodzie Willsona-Devinney.} 
%Indeks oznacza że parametr jest zależny od długości fali.

\begin{center}
\begin{tabular}{l|ll}
\hline
\hline
parametr & oznaczenie & oznaczenie\\
         & MINGA      & PHOEBE\\
\hline

%\multicolumn{2}{l}{\emph{parametry związane z krzywą blasku}} \\
\emph{parametry związane z krzywą blasku}\\
$i$ nachylenie &  i                     &  INCL       \\
$\Omega_{12}$ potencjały pow.&      Om1, Om2    &  PHSV, PCSV       \\
$l_{12}$ jasność  &  l1, l2   & HLA, CLA   \\
$T_{12}$ temperatura  &     T1, T2           &  TAVH, TAVC    \\
$x_{12}$ wsp. poc. brzeg.&    X1, X2         &    X1, X2        \\
$A_{12}$ albedo&    A1, A2         &    ALB1, ALB2         \\
$g_{12}$ wsp. poj. gr.&    g1, g2         &    GR1, GR2         \\

&&\\
%\multicolumn{2}{l}{\emph{parametry orbitalne}} \\
\emph{parametry orbitalne} \\
$q$ &        q  &  RM   \\
$a$     półoś wielka  &         A & SMA \\
$V_{\gamma}$ prędkość radialna układu &  Vgam & VGA   \\

&&\\
\emph{orbity eliptyczne}&&\\
$e$           mimosród orbity   &  e & E            \\
$\omega$       długość periastron  &  lper & PERRO         \\

&&\\
\emph{inne parametry} &&\\
$F_{12}$         wsp. rotacji asynchronicznej  & F1, F2 & F1, F2  \\
$l_3$          jasność trzeciego składnika     &  l3 & EL3 \\

&&\\
%\multicolumn{2}{l}{\emph{parametry sterujące działaniem programu}}    \\
\emph{parametry sterujące}\\
\emph{działaniem programu}\\
$n_{12}$ liczba warstw siatki &  n1, n2   &  N1, N2          \\
$IPB$  właczenie  zalezność $T_2-L_2$ &   IPB 1/0 & IPB OFF/ON \\
&&\\

$if_{(atm)}$    wł. efektów nie Plankowskich &    atm1, atm2 & IFAT1, IFAT2   \\
rózne tryby(mody) pracy           & mode & MODEL  \\


\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{table}






\end{document}	

